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B. \(a^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (a) (3) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (3), so (a) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(3) अभाज्य है। यदि (3) किसी वर्ग को विभाजित करे तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / (3) is prime. If (3) divides a square, it also divides the original number.
(a=3r) रखने पर \(9r^2=3b^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(b^2=3r^2\) मिलता है। / Putting (a=3r) gives \(9r^2=3b^2\). Dividing both sides by (3) gives \(b^2=3r^2\).
A. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा। / Coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
B. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। यही परिमेय मान्यता को गलत करता है। / If both have common factor (3), they cannot remain coprime. This makes the rational assumption false.
D. \(m^2=2n^2\) से सीधे (m=2n)/From \(m^2=2n^2\), directly (m=2n)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (m=2n) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष पहले केवल (m) का सम होना है। / The square relation does not directly give (m=2n). The correct conclusion first is only that (m) is even.
D. \(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b)/From \(a^2=3b^2\), directly (a=3b)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से सीधे (a=3b) नहीं निकाला जा सकता। पहले (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। / From \(a^2=3b^2\), (a=3b) cannot be directly concluded. First (a) is proved divisible by (3).
A. \(a^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बताता है/\(a^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(a^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(a^2=3b^2\) \(a^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (a) has no factor (3), then \(a^2\) also has none. But \(a^2=3b^2\) makes \(a^2\) divisible by (3).
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) सम \(\rightarrow\) (n) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(m^2=2n^2\) \(\rightarrow\) (m) even \(\rightarrow\) (n) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही प्रमाण की सही क्रमिक रचना है। अंत में दोनों सम मिलना सहभाज्य शर्त से टकराता है। / This is the correct stepwise structure of the proof. Finally both even conflicts with coprime condition.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) (a) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (b) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=3b^2\) \(\rightarrow\) (a) divisible by (3) \(\rightarrow\) (b) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। अंत में सहभाज्य मान्यता टूटती है। / The proof of \(\sqrt{3}\) follows a chain of divisibility by (3). Finally the coprime assumption breaks.
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं रहेगा/The contradiction will not be clear when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप की शर्त ही सहभाज्य होना बताती है। बिना इसके दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा। / The lowest-form condition states coprimality. Without it, both even will not form a decisive contradiction.
A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास कमजोर हो जाता है/The contradiction becomes weak when both are found divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना अंतिम विरोधाभास नहीं दिखा पाएगा। / Without the coprime condition, common factor (3) cannot clearly show the final contradiction.
A. (m) और (n) दोनों सम हैं/Both (m) and (n) are even
Explanation
Simple Explanation
(m=2k) से (m) सम है और \(n^2=2k^2\) से (n) सम है। यह अंतिम विरोधाभास बनाता है। / (m=2k) gives (m) even and \(n^2=2k^2\) gives (n) even. This creates the final contradiction.
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(a=3r) से (a) (3) से विभाज्य है और \(b^2=3r^2\) से (b) भी (3) से विभाज्य है। / (a=3r) shows (a) is divisible by (3) and \(b^2=3r^2\) shows (b) is also divisible by (3).
A. यदि संख्या विषम हो तो उसका वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
विषम का वर्ग विषम होता है। इसलिए वर्ग सम होने पर संख्या विषम नहीं हो सकती। / The square of an odd number is odd. Therefore if the square is even, the number cannot be odd.
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही विभाज्यता का आधार है। / A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the basis of divisibility.
A. पहले (m) सम सिद्ध करके (m=2k) रखना पड़ता है/First (m) must be proved even and (m=2k) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से सीधे (n) सम नहीं मिलता। (m=2k) रखने के बाद \(n^2=2k^2\) मिलता है। / \(m^2=2n^2\) does not directly give (n) even. After putting (m=2k), \(n^2=2k^2\) is obtained.
A. पहले (a) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (a=3r) रखना पड़ता है/First (a) must be proved divisible by (3) and (a=3r) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(a^2\) से (a) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (a=3r) रखकर (b) का निष्कर्ष आता है। / First (a) is proved divisible by (3) from \(a^2\). Then after putting (a=3r), the conclusion for (b) follows.
A. \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), जहाँ (\gcd(m,n)=1) और \(n\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), where (\gcd(m,n)=1) and \(n\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम सहभाज्य भिन्न में लिखा जाता है। इसी रूप से विरोधाभास बनता है। / A rational number is written in lowest coprime fraction. This form creates the contradiction.
C. \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ (\gcd(a,b)=1) और \(b\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where (\gcd(a,b)=1) and \(b\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में सरलतम भिन्न चाहिए। (\gcd(a,b)=1) और \(b\neq0\) लिखना आवश्यक है। / The proof needs the lowest fraction. It is necessary to write (\gcd(a,b)=1) and \(b\neq0\).
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। अंतर केवल अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) का है। / Both proofs have the same structure. The only difference is the prime factors (2) and (3).
A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है/In a perfect square, every prime exponent is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) की घात से विरोधाभास समझ आता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\).
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3b^2\) में वह विषम हो सकती है/In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3b^2\) it can become odd
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। यही विचार \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को मजबूत करता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
A. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge2) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से (\gcd(m,n)=1) है। दोनों सम होने से महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। / Coprime means (\gcd(m,n)=1). Both even means the highest common factor is at least (2).
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(m,n)=1) विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(m,n)=1) gives the contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है। / Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition creates contradiction with the final common factor.
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(a,b)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(a,b)=1) is the basis of the final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(b\neq0\) भिन्न के लिए आवश्यक है। (\gcd(a,b)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास बनाता है। / \(b\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(a,b)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
A. (m) सम सिद्ध करने के बाद (n) सम सिद्ध करना/After proving (m) even, proving (n) even
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (m) सम होना पर्याप्त नहीं है। विरोधाभास के लिए (n) भी सम होना चाहिए। / Only (m) being even is not enough. For contradiction, (n) must also be even.
A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से ही (m) और (n) का सहभाज्य होना मिलता है। यही अंतिम विरोधाभास का आधार है। / Lowest form gives that (m) and (n) are coprime. This is the basis of the final contradiction.
A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना पर्याप्त विरोधाभास नहीं होगा। / Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a sufficient contradiction.
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए अंश और हर को (2) से भाग दिया जा सकता है। / Both have common factor (2). So numerator and denominator can be divided by (2).
A. क्योंकि दोनों को (3) से घटाया जा सकता है/Because both can be reduced by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। सरलतम रूप में ऐसा सामान्य गुणनखंड नहीं होता। / Both have common factor (3). In lowest form, such a common factor does not exist.
A. विरोधाभास के लिए (n) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (n) must also be proved even
Explanation
Simple Explanation
एक संख्या का सम होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों का सम होना जरूरी है। / One number being even gives no contradiction with coprime condition. Both must be even.
A. विरोधाभास के लिए (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (b) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (a) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं है। (a) और (b) दोनों में (3) होना जरूरी है। / Only (a) having factor (3) is not a contradiction. Both (a) and (b) must have factor (3).
सरलतम रूप में (\gcd(m,n)=1) होना चाहिए। दोनों सम होने पर (\gcd(m,n)\ge2) हो जाता है। / In lowest form, (\gcd(m,n)=1) should hold. If both are even, (\gcd(m,n)\ge2).
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य होने पर (\gcd(a,b)\ge3) होगा। / In lowest form, (\gcd(a,b)=1) should hold. If both are divisible by (3), (\gcd(a,b)\ge3).
A. क्योंकि सरलतम भिन्न में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड (2) नहीं हो सकता/Because numerator and denominator of a lowest fraction cannot have common factor (2)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(m,n)=1) होना चाहिए। दोनों सम होने पर सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाता है। / In lowest form (\gcd(m,n)=1) should hold. If both are even, common factor (2) appears.
(\gcd(a,b)=1) का अर्थ है कि दोनों में कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। दोनों में (3) होना इसी से विरोधाभास है। / (\gcd(a,b)=1) means both have no common factor. Having (3) in both contradicts this.
(m=2k) रखने पर \(4k^2=2n^2\) और फिर \(n^2=2k^2\) मिलता है। इससे (n) सम सिद्ध होता है। / Putting (m=2k) gives \(4k^2=2n^2\) and then \(n^2=2k^2\). This proves (n) even.
(a=3r) रखने से \(9r^2=3b^2\) मिलता है। इससे \(b^2=3r^2\) और फिर (b) (3) से विभाज्य है। / Putting (a=3r) gives \(9r^2=3b^2\). Thus \(b^2=3r^2\), so (b) is divisible by (3).
केवल (m) सम होना विरोधाभास नहीं देता। विरोधाभास के लिए (n) भी सम सिद्ध करना जरूरी है। / Only (m) being even gives no contradiction. To get contradiction, (n) must also be proved even.
केवल (a) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। (b) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना होता है। / Only (a) being divisible by (3) is not the final contradiction. (b) must also be proved divisible by (3).
A. (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य हैं/Both (m) and (n) are divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (2) से विभाज्य हों तो भिन्न को घटाया जा सकता है। सरलतम रूप में ऐसा नहीं होता। / If both are divisible by (2), the fraction can be reduced. This does not happen in lowest form.
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकता। / Both have common factor (3). Therefore \(\frac{a}{b}\) cannot be in lowest form.
