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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

यदि किसी प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) लिखा है पर सरलतम रूप नहीं बताया गया, तो सबसे बड़ी कमी क्या है?

If a proof writes \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) but does not state lowest form, what is the biggest weakness?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगाThe contradiction will not be clear when both become even

Explanation

Simple Explanation

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) मानने पर \(m^2=2n^2\) मिलता है। इससे \(m\) सम और फिर \(n\) भी सम सिद्ध होता है। लेकिन विरोधाभास तभी मिलेगा जब पहले यह बताया जाए कि \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में है, अर्थात \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। दोनों का सम होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। केवल दोनों सम होना अपने-आप में विरोधाभास नहीं है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के ऐसे प्रमाण में ‘सरलतम रूप’ या ‘सह-अभाज्य’ शर्त अवश्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) gives \(m^2=2n^2\). This shows that \(m\) is even, and then \(n\) is also even. However, this becomes a contradiction only if \(\frac{m}{n}\) was stated to be in lowest terms, meaning that \(m\) and \(n\) are coprime. Both being even contradicts coprimality; being even alone is not a contradiction. Exam tip: In such irrationality proofs, always state that the fraction is in lowest terms or that the numerator and denominator are coprime.

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यदि किसी प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) लिखा है पर सरलतम रूप नहीं बताया गया, तो सबसे बड़ी कमी क्या है? / If a proof writes \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) but does not state lowest form, what is the biggest weakness?

Correct Answer: A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा / The contradiction will not be clear when both become even. Explanation: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) मानने पर \(m^2=2n^2\) मिलता है। इससे \(m\) सम और फिर \(n\) भी सम सिद्ध होता है। लेकिन विरोधाभास तभी मिलेगा जब पहले यह बताया जाए कि \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में है, अर्थात \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। दोनों का सम होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। केवल दोनों सम होना अपने-आप में विरोधाभास नहीं है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के ऐसे प्रमाण में ‘सरलतम रूप’ या ‘सह-अभाज्य’ शर्त अवश्य लिखें। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) gives \(m^2=2n^2\). This shows that \(m\) is even, and then \(n\) is also even. However, this becomes a contradiction only if \(\frac{m}{n}\) was stated to be in lowest terms, meaning that \(m\) and \(n\) are coprime. Both being even contradicts coprimality; being even alone is not a contradiction. Exam tip: In such irrationality proofs, always state that the fraction is in lowest terms or that the numerator and denominator are coprime.