If a and b are coprime and both are proved divisible by 3, what is the correct contradiction about gcd(a,b)?यदि a और b सहभाज्य हैं तथा दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो गए हैं, तो gcd(a,b) के बारे में सही विरोधाभास क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: gcd(a,b) = 1 and gcd(a,b) ≥ 3 cannot both holdgcd(a,b) = 1 और gcd(a,b) ≥ 3 दोनों एक साथ नहीं हो सकते
By definition, a and b being coprime means their greatest common divisor is exactly 1. If both are divisible by 3, we can write a = 3r and b = 3s for integers r and s. Thus 3 is a common divisor of a and b, and their greatest common divisor is at least 3. The proof has therefore derived gcd(a,b) = 1 from the lowest-terms assumption and gcd(a,b) ≥ 3 from divisibility. These mutually incompatible statements form the contradiction. Option A states it precisely. A gcd is never negative, it need not be zero, and it is not generally equal to the sum of the two numbers, so B, C, and D are invalid.परिभाषा के अनुसार a और b के सहभाज्य होने का अर्थ है कि उनका महत्तम समापवर्तक ठीक 1 है। यदि दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो कुछ पूर्णांकों r और s के लिए a = 3r तथा b = 3s लिखा जा सकता है। इसलिए 3, a और b का समान भाजक है और gcd(a,b) कम से कम 3 होगा। प्रमाण में सरलतम रूप से gcd(a,b) = 1 प्राप्त हुआ था, जबकि विभाज्यता से gcd(a,b) ≥ 3 प्राप्त होता है। ये दोनों निष्कर्ष साथ-साथ संभव नहीं हैं और यही विरोधाभास है। A इसे ठीक-ठीक बताता है। gcd ऋणात्मक नहीं होता, आवश्यक रूप से शून्य नहीं होता और सामान्यतः a + b के बराबर भी नहीं होता।
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