A. यदि वर्ग सम है तो संख्या सम है/If the square is even, the number is even
Step 1
Concept
From \(x^2=2y^2\), \(x^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि वर्ग सम है तो संख्या सम है / If the square is even, the number is even. From \(x^2=2y^2\), \(x^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer is even.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=2y^2\) से \(x^2\) सम है। वर्ग सम होने पर पूर्णांक भी सम होता है।
B. क्योंकि (3) अभाज्य है और \(u^2\) को विभाजित करता है/Because (3) is prime and divides \(u^2\)
Step 1
Concept
If prime (3) divides a square, it divides the original number too. Therefore (u) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (3) अभाज्य है और \(u^2\) को विभाजित करता है / Because (3) is prime and divides \(u^2\). If prime (3) divides a square, it divides the original number too. Therefore (u) is a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (u) (3) का गुणज है।
A. \(y^2=2r^2\), इसलिए (y) सम है/\(y^2=2r^2\), so (y) is even
Step 1
Concept
Simplifying gives \(y^2=2r^2\). Hence \(y^2\) is even and then (y) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y^2=2r^2\), इसलिए (y) सम है / \(y^2=2r^2\), so (y) is even. Simplifying gives \(y^2=2r^2\). Hence \(y^2\) is even and then (y) is even.
Step 3
Exam Tip
सरल करने पर \(y^2=2r^2\) मिलता है। इससे \(y^2\) सम और फिर (y) सम होता है।
C. (x) और (y) दोनों सम हों जबकि वे सहभाज्य हों/Both (x) and (y) are even while they are coprime
Step 1
Concept
The contradiction completes when numerator and denominator both have common factor (2). This opposes the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x) और (y) दोनों सम हों जबकि वे सहभाज्य हों / Both (x) and (y) are even while they are coprime. The contradiction completes when numerator and denominator both have common factor (2). This opposes the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब पूरा होता है जब अंश और हर दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाए। यह सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है।
A. क्योंकि (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (v) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Contradiction with coprime condition occurs only when both (u) and (v) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है / Because (v) must also be proved divisible by (3). Contradiction with coprime condition occurs only when both (u) and (v) are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनेगा जब (u) और (v) दोनों (3) से विभाज्य मिलें।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूट गई/The lowest form assumption is broken
Step 1
Concept
If both are even, the fraction can be reduced by (2). So it cannot remain in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम रूप की मान्यता टूट गई / The lowest form assumption is broken. If both are even, the fraction can be reduced by (2). So it cannot remain in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। इसलिए वह सरलतम रूप में नहीं रह सकती।
Both have common factor (3). So the lowest-form condition (\gcd(u,v)=1) breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. वह कम से कम (3) होगा / It will be at least (3). Both have common factor (3). So the lowest-form condition (\gcd(u,v)=1) breaks.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(u,v)=1) की सरलतम रूप वाली शर्त टूटती है।
The square relation does not directly give (x=2y). The correct path is from \(x^2\) even to (x) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(x^2=2y^2\Rightarrow x=2y\). The square relation does not directly give (x=2y). The correct path is from \(x^2\) even to (x) even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (x=2y) नहीं मिलता। सही रास्ता \(x^2\) सम से (x) सम तक है।
A. विषम (x) का वर्ग विषम होगा पर \(x^2=2y^2\) उसे सम बनाता है/Odd (x) has odd square, but \(x^2=2y^2\) makes it even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2y^2\) is even, so (x) cannot be odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विषम (x) का वर्ग विषम होगा पर \(x^2=2y^2\) उसे सम बनाता है / Odd (x) has odd square, but \(x^2=2y^2\) makes it even. The square of an odd number is odd. But \(2y^2\) is even, so (x) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2y^2\) सम है, इसलिए (x) विषम नहीं हो सकता।
A. \(u^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(u^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Step 1
Concept
If (u) has no factor (3), then \(u^2\) also has none. But \(u^2=3v^2\) shows it divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(u^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है / \(u^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible. If (u) has no factor (3), then \(u^2\) also has none. But \(u^2=3v^2\) shows it divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (u) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(u^2\) में भी नहीं होगा। पर \(u^2=3v^2\) इसे (3) से विभाज्य दिखाता है।
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) सम \(\rightarrow\) (y) सम \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) even \(\rightarrow\) (y) even \(\rightarrow\) coprime contradiction
Step 1
Concept
The standard proof follows this order. Each step is based on the previous conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) सम \(\rightarrow\) (y) सम \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास / Rational assumption \(\rightarrow\) \(x^2=2y^2\) \(\rightarrow\) (x) even \(\rightarrow\) (y) even \(\rightarrow\) coprime contradiction. The standard proof follows this order. Each step is based on the previous conclusion.
Step 3
Exam Tip
मानक प्रमाण में यही क्रम चलता है। प्रत्येक चरण पिछले निष्कर्ष पर आधारित है।
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (v) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) divisible by (3) \(\rightarrow\) (v) divisible by (3)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally common factor (3) gives contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (v) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) सहभाज्य विरोधाभास / Rational assumption \(\rightarrow\) \(u^2=3v^2\) \(\rightarrow\) (u) divisible by (3) \(\rightarrow\) (v) divisible by (3). For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally common factor (3) gives contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) विरोधाभास देता है।
A. क्योंकि अंत में (x,y) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं/Because finally both (x,y) are found divisible by (2)
Step 1
Concept
(\gcd(x,y)=1) is the lowest-form condition. Common factor (2) in both conflicts with it.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि अंत में (x,y) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं / Because finally both (x,y) are found divisible by (2). (\gcd(x,y)=1) is the lowest-form condition. Common factor (2) in both conflicts with it.
Step 3
Exam Tip
(\gcd(x,y)=1) सरलतम रूप की शर्त है। दोनों में (2) सामान्य मिलना इसी से टकराता है।
A. क्योंकि दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/Because the contradiction is not clear when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
The lowest coprime form creates contradiction with the final common factor (3). Write it in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा / Because the contradiction is not clear when both become divisible by (3). The lowest coprime form creates contradiction with the final common factor (3). Write it in exams.
Step 3
Exam Tip
सरलतम सहभाज्य रूप ही अंतिम सामान्य गुणनखंड (3) से विरोधाभास बनाता है। इसे परीक्षा में जरूर लिखें।
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Step 1
Concept
(u=3t) shows (u) is divisible by (3). \(v^2=3t^2\) shows (v) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3). (u=3t) shows (u) is divisible by (3). \(v^2=3t^2\) shows (v) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(u=3t) से (u) (3) से विभाज्य है। \(v^2=3t^2\) से (v) भी (3) से विभाज्य है।
A. यदि संख्या विषम हो तो वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Step 1
Concept
This reasoning proves (x) even from \(x^2\). Do not apply it in the wrong direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि संख्या विषम हो तो वर्ग विषम होगा, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है / If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even. This reasoning proves (x) even from \(x^2\). Do not apply it in the wrong direction.
Step 3
Exam Tip
यह तर्क \(x^2\) से (x) सम सिद्ध करने में काम आता है। इसे गलत दिशा में न लगाएँ।
A. यदि \(3\mid u^2\) तो \(3\mid u\)/If \(3\mid u^2\), then \(3\mid u\)
Step 1
Concept
A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the proof's key basis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(3\mid u^2\) तो \(3\mid u\) / If \(3\mid u^2\), then \(3\mid u\). A prime factor appears in a square only when it appears in the original number. This is the proof's key basis.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। यही प्रमाण का मुख्य आधार है।
A. अधूरा है; पहले (x) सम और (x=2r) सिद्ध करना होगा/It is incomplete; first (x) even and (x=2r) must be proved
Step 1
Concept
\(x^2=2y^2\) does not directly give (y) even. After putting (x=2r), \(y^2=2r^2\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अधूरा है; पहले (x) सम और (x=2r) सिद्ध करना होगा / It is incomplete; first (x) even and (x=2r) must be proved. \(x^2=2y^2\) does not directly give (y) even. After putting (x=2r), \(y^2=2r^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=2y^2\) से सीधे (y) सम नहीं निकलता। (x=2r) रखने के बाद \(y^2=2r^2\) मिलता है।
A. अधूरा कदम; पहले (u=3t) रखना चाहिए/Incomplete step; first (u=3t) should be taken
Step 1
Concept
First (u) is proved divisible by (3) from \(u^2\). Then taking (u=3t) gives the conclusion for (v).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अधूरा कदम; पहले (u=3t) रखना चाहिए / Incomplete step; first (u=3t) should be taken. First (u) is proved divisible by (3) from \(u^2\). Then taking (u=3t) gives the conclusion for (v).
Step 3
Exam Tip
पहले \(u^2\) से (u) (3) से विभाज्य मिलता है। फिर (u=3t) रखने पर (v) के लिए निष्कर्ष आता है।
A. \(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), जहाँ (\gcd(x,y)=1) और \(y\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), where (\gcd(x,y)=1) and \(y\neq0\)
Step 1
Concept
Lowest coprime form is necessary for the proof. This creates the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), जहाँ (\gcd(x,y)=1) और \(y\neq0\) / \(\sqrt{2}=\frac{x}{y}\), where (\gcd(x,y)=1) and \(y\neq0\). Lowest coprime form is necessary for the proof. This creates the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण के लिए सरलतम सहभाज्य रूप जरूरी है। इसी से अंतिम विरोधाभास बनता है।
C. \(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), जहाँ (\gcd(u,v)=1) और \(v\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), where (\gcd(u,v)=1) and \(v\neq0\)
Step 1
Concept
The rational assumption should be written in lowest fraction. (\gcd(u,v)=1) creates the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), जहाँ (\gcd(u,v)=1) और \(v\neq0\) / \(\sqrt{3}=\frac{u}{v}\), where (\gcd(u,v)=1) and \(v\neq0\). The rational assumption should be written in lowest fraction. (\gcd(u,v)=1) creates the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता को सरलतम भिन्न में लिखना चाहिए। (\gcd(u,v)=1) से ही अंत में विरोधाभास बनता है।
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास होता है/Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor
Step 1
Concept
Both proofs have the same outline. The difference is only the main prime factors (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास होता है / Both use rational assumption, squaring, and contradiction through a prime factor. Both proofs have the same outline. The difference is only the main prime factors (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों की रूपरेखा समान है। अंतर केवल मुख्य अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) का है।
A. (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना/To prove (v) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
Putting (u=3t) gives \(v^2=3t^2\). Then (v) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना / To prove (v) is also divisible by (3). Putting (u=3t) gives \(v^2=3t^2\). Then (v) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(u=3t) रखने से \(v^2=3t^2\) बनता है। फिर (v) भी (3) से विभाज्य होता है।
A. सरलतम रूप के (x,y) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (x,y) both turn out divisible by (2)
Step 1
Concept
The final contradiction comes when both are divisible by (2). This breaks (\gcd(x,y)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम रूप के (x,y) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / Lowest-form (x,y) both turn out divisible by (2). The final contradiction comes when both are divisible by (2). This breaks (\gcd(x,y)=1).
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास दोनों के (2) से विभाज्य होने पर बनता है। इससे (\gcd(x,y)=1) टूटता है।
B. सरलतम रूप के (u,v) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (u,v) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(u,v)=1). Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सरलतम रूप के (u,v) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Lowest-form (u,v) both turn out divisible by (3). Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(u,v)=1). Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों का (3) से विभाज्य होना (\gcd(u,v)=1) से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है/In a perfect square, every prime exponent is even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction deeply.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है / In a perfect square, every prime exponent is even. In a perfect square, prime exponents are even. The exponent of (2) explains the contradiction deeply.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घात सम होती है। (2) की घात से यही विरोधाभास गहराई से समझ आता है।
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3v^2\) में वह विषम हो सकती है/In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3v^2\) it can become odd
Step 1
Concept
In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the contradiction for \(\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3v^2\) में वह विषम हो सकती है / In a perfect square, exponent of (3) must be even, but in \(3v^2\) it can become odd. In a perfect square, all prime exponents are even. This idea strengthens the contradiction for \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। यही विचार \(\sqrt{3}\) के विरोधाभास को मजबूत करता है।
A. (\gcd(x,y)=1) और (\gcd(x,y)\ge2) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(x,y)=1) and (\gcd(x,y)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Coprime means (\gcd(x,y)=1). Both even means (\gcd(x,y)) is at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(x,y)=1) और (\gcd(x,y)\ge2) दोनों साथ नहीं हो सकते / (\gcd(x,y)=1) and (\gcd(x,y)\ge2) cannot both hold. Coprime means (\gcd(x,y)=1). Both even means (\gcd(x,y)) is at least (2).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से (\gcd(x,y)=1) है। दोनों सम होने से (\gcd(x,y)) कम से कम (2) होगा।
A. (\gcd(u,v)=1) और (\gcd(u,v)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(u,v)=1) and (\gcd(u,v)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(u,v)=1) और (\gcd(u,v)\ge3) दोनों साथ नहीं हो सकते / (\gcd(u,v)=1) and (\gcd(u,v)\ge3) cannot both hold. Being coprime means the highest common factor is (1). Both divisible by (3) makes it at least (3).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा।
A. \(y\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(x,y)=1) विरोधाभास देता है/\(y\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(x,y)=1) gives contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(x,y)=1) विरोधाभास देता है / \(y\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(x,y)=1) gives contradiction. Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
A. \(v\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(u,v)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(v\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(u,v)=1) is the basis of final contradiction
Step 1
Concept
\(v\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(u,v)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(v\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(u,v)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है / \(v\neq0\) keeps the fraction defined, (\gcd(u,v)=1) is the basis of final contradiction. \(v\neq0\) is necessary for the fraction. (\gcd(u,v)=1) creates contradiction when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(v\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(u,v)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास बनाता है।
A. (x) सम सिद्ध करने के बाद (y) सम सिद्ध करना/After proving (x) even, proving (y) even
Step 1
Concept
Only (x) being even gives no contradiction. The coprime condition breaks only when (y) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x) सम सिद्ध करने के बाद (y) सम सिद्ध करना / After proving (x) even, proving (y) even. Only (x) being even gives no contradiction. The coprime condition breaks only when (y) is also even.
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (x) सम होना विरोधाभास नहीं देता। (y) भी सम हो तभी सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. (u=3t) के बाद (v) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/After (u=3t), proving (v) divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (u) being divisible by (3) is not enough. (v) must also be divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (u=3t) के बाद (v) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना / After (u=3t), proving (v) divisible by (3). Only (u) being divisible by (3) is not enough. (v) must also be divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (u) का (3) से विभाज्य होना पर्याप्त नहीं है। (v) भी (3) से विभाज्य होना चाहिए।
A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become even
Step 1
Concept
The lowest-form condition tells that (x,y) are coprime. This creates contradiction when both become even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम निकलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा / The contradiction will not be clear when both become even. The lowest-form condition tells that (x,y) are coprime. This creates contradiction when both become even.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप की शर्त ही बताती है कि (x,y) सहभाज्य हैं। इसी से दोनों सम होने पर विरोधाभास बनता है।
A. दोनों (3) से विभाज्य होने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a sufficient contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य होने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / A decisive contradiction will not form when both become divisible by (3). Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a sufficient contradiction.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना पर्याप्त विरोधाभास नहीं लगेगा।
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Step 1
Concept
Both have common factor (2). So numerator and denominator can be divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं / Because both are divisible by (2). Both have common factor (2). So numerator and denominator can be divided by (2).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए अंश और हर को (2) से भाग देकर घटाया जा सकता है।
A. क्योंकि दोनों को (3) से घटाया जा सकता है/Because both can be reduced by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). In lowest form, such a common factor cannot exist.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दोनों को (3) से घटाया जा सकता है / Because both can be reduced by (3). Both have common factor (3). In lowest form, such a common factor cannot exist.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। सरलतम रूप में ऐसा सामान्य गुणनखंड नहीं होता।
A. (2) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो अंश और हर दोनों में आकर विरोधाभास देता है/(2) becomes the common prime factor in both numerator and denominator and gives contradiction
Step 1
Concept
The proof first proves factor (2) in the numerator and then in the denominator. This conflicts with coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो अंश और हर दोनों में आकर विरोधाभास देता है / (2) becomes the common prime factor in both numerator and denominator and gives contradiction. The proof first proves factor (2) in the numerator and then in the denominator. This conflicts with coprime condition.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में पहले अंश और फिर हर में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यही सहभाज्य शर्त से टकराता है।
A. (3) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो (u) और (v) दोनों में आकर विरोधाभास देता है/(3) becomes the common prime factor in both (u) and (v) and gives contradiction
Step 1
Concept
The proof shows (3) is first a factor of (u) and then of (v). This is the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3) वह सामान्य अभाज्य गुणनखंड बनता है जो (u) और (v) दोनों में आकर विरोधाभास देता है / (3) becomes the common prime factor in both (u) and (v) and gives contradiction. The proof shows (3) is first a factor of (u) and then of (v). This is the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में (3) पहले (u) और फिर (v) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यह अंतिम विरोधाभास है।
A. विरोधाभास के लिए (y) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (y) must also be proved even
Step 1
Concept
One number having factor (2) gives no contradiction with coprime condition. Both need factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास के लिए (y) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है / To get contradiction, (y) must also be proved even. One number having factor (2) gives no contradiction with coprime condition. Both need factor (2).
Step 3
Exam Tip
एक ही संख्या में (2) का गुणनखंड होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों में (2) चाहिए।
A. विरोधाभास के लिए (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (v) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (u) having factor (3) is not a contradiction. The coprime condition breaks when both (u) and (v) have factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास के लिए (v) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है / To get contradiction, (v) must also be proved divisible by (3). Only (u) having factor (3) is not a contradiction. The coprime condition breaks when both (u) and (v) have factor (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (u) में (3) होना विरोधाभास नहीं है। (u) और (v) दोनों में (3) होने से सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Step 1
Concept
Both even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / \(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even. Both even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत होती है।
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3). Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/Always write the fraction in lowest coprime form
Step 1
Concept
If lowest form is not written, the final contradiction becomes weak. This is the most important exam condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें / Always write the fraction in lowest coprime form. If lowest form is not written, the final contradiction becomes weak. This is the most important exam condition.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी शर्त है।
