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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने की शर्त पर मानें और प्रमाण से \(p\) तथा \(q\) दोनों 3 से विभाज्य निकलें, तो यह क्या सिद्ध करता है?

If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed with \(p\) and \(q\) coprime, and the proof shows that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, what does this establish?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास है; अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय हैIt contradicts the condition that \(p\) and \(q\) are coprime; hence \(\sqrt{3}\) is irrational

Explanation

Simple Explanation

यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को भी विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यही विभाज्यता नियम लगाएँ। / If 3 divides \(p^2\), then 3 must divide \(p\). Put \(p=3k\); this gives \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: apply this prime-divisibility rule in irrationality proofs.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने की शर्त पर मानें और प्रमाण से \(p\) तथा \(q\) दोनों 3 से विभाज्य निकलें, तो यह क्या सिद्ध करता है? / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed with \(p\) and \(q\) coprime, and the proof shows that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, what does this establish?

Correct Answer: C. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास है; अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / It contradicts the condition that \(p\) and \(q\) are coprime; hence \(\sqrt{3}\) is irrational. Explanation: यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को भी विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यही विभाज्यता नियम लगाएँ। / If 3 divides \(p^2\), then 3 must divide \(p\). Put \(p=3k\); this gives \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: apply this prime-divisibility rule in irrationality proofs.