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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में लिखता है: “यदि \(3\mid p^2\), तो केवल इतना निष्कर्ष निकलता है कि \(p^2=3k\)।” उसके तर्क को आगे बढ़ाने के लिए सही सुधार क्या है?

In a proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, a student writes: “If \(3\mid p^2\), we can conclude only that \(p^2=3k\).” What is the correct correction needed to continue the argument?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकलता है।Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).

Explanation

Simple Explanation

3 अभाज्य है। अभाज्य गुणनखंड प्रमेय के अनुसार यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा; अतः \(p=3r\) लिखते हैं। आगे रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य मान्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य विभाजक वाला नियम स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime, the prime-factor property gives \(3\mid p\) whenever \(3\mid p^2\); hence write \(p=3r\). Substitution then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the prime-divisor property before substituting.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में लिखता है: “यदि \(3\mid p^2\), तो केवल इतना निष्कर्ष निकलता है कि \(p^2=3k\)।” उसके तर्क को आगे बढ़ाने के लिए सही सुधार क्या है? / In a proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, a student writes: “If \(3\mid p^2\), we can conclude only that \(p^2=3k\).” What is the correct correction needed to continue the argument?

Correct Answer: A. चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकलता है। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).. Explanation: 3 अभाज्य है। अभाज्य गुणनखंड प्रमेय के अनुसार यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा; अतः \(p=3r\) लिखते हैं। आगे रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य मान्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य विभाजक वाला नियम स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime, the prime-factor property gives \(3\mid p\) whenever \(3\mid p^2\); hence write \(p=3r\). Substitution then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the prime-divisor property before substituting.