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In the proof that \(\sqrt{3}\) is irrational, suppose \(\frac{p}{q}\) is in lowest terms and \(p^2=3q^2\) is obtained. Which fact is needed to establish the contradiction?displaystyle \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में मानकर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा तथ्य आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: यदि किसी अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।यदि किसी अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); putting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\) too. Thus \(p,q\) are not coprime. Exam tip: use the prime-divisor property in such proofs.\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। अतः \(p,q\) सह-अभाज्य नहीं रहे। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें।
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