displaystyle \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में मानकर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा तथ्य आवश्यक है?

Correct Answer: A. यदि किसी अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। अतः \(p,q\) सह-अभाज्य नहीं रहे। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); putting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\) too. Thus \(p,q\) are not coprime. Exam tip: use the prime-divisor property in such proofs.