prime divisor property se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहाभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए किस गुण का प्रयोग किया जाता है?
A. अभाज्य भाजक गुण: यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है/Prime divisor property: If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer
Explanation
Simple Explanation
3 एक अभाज्य संख्या है और \(p^2=p\times p\) है। इसलिए यूक्लिड के लेम्मा से \(3\mid p^2\) होने पर \(3\mid p\) मिलता है। यही तर्क \(q\) पर भी लागू होकर सहाभाज्यता का विरोध देता है। परीक्षा में अभाज्य होने की शर्त जाँचें। / Since 3 is prime and \(p^2=p\times p\), Euclid’s lemma gives \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\). Applying the same idea to \(q\) contradicts coprimality. Exam tip: this inference specifically requires the divisor to be prime.
3 एक अभाज्य संख्या है।
b-2=3a-2 से 3,
b-2 को विभाजित करता है; अभाज्य भाजक गुण से 3,
b को भी विभाजित करेगा। इससे न्यूनतम रूप की धारणा पर विरोधाभास बनता है। परीक्षा में अभाज्य संख्या का यह गुण स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime,
b-2=3a-2 shows that 3 divides
b-2. By the prime divisor property, 3 must divide
b. This leads to a contradiction with the lowest-form assumption. In exams, state the prime-property step explicitly.
displaystyle \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में मानकर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो विरोधाभास स्थापित करने के लिए कौन-सा तथ्य आवश्यक है?
A. यदि किसी अभाज्य संख्या से \(p^2\) विभाज्य है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\); \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। अतः \(p,q\) सह-अभाज्य नहीं रहे। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड वाला नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, \(3\mid p\); putting \(p=3k\) then gives \(3\mid q\) too. Thus \(p,q\) are not coprime. Exam tip: use the prime-divisor property in such proofs.
