Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. Which property is used to infer \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\) in the proof?मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहाभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए किस गुण का प्रयोग किया जाता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Prime divisor property: If a prime divides the square of an integer, it also divides that integerअभाज्य भाजक गुण: यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है
Since 3 is prime and \(p^2=p\times p\), Euclid’s lemma gives \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\). Applying the same idea to \(q\) contradicts coprimality. Exam tip: this inference specifically requires the divisor to be prime.3 एक अभाज्य संख्या है और \(p^2=p\times p\) है। इसलिए यूक्लिड के लेम्मा से \(3\mid p^2\) होने पर \(3\mid p\) मिलता है। यही तर्क \(q\) पर भी लागू होकर सहाभाज्यता का विरोध देता है। परीक्षा में अभाज्य होने की शर्त जाँचें।
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