In the proof of (\sqrt{3}), if (u) is not divisible by (3), what conflict occurs from (u^2=3v^2)?(\sqrt{3}) के प्रमाण में यदि (u) (3) से विभाज्य न हो, तो (u^2=3v^2) से क्या विरोध बनेगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (u^2) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible(u^2) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है
The direct answer is A. If u is not divisible by 3, then its square u squared is also not divisible by 3, because squaring cannot create a missing prime factor. But the equation u squared equals 3v squared has an explicit factor 3 on the right-hand side, so the right side is divisible by 3. Equality would then force u squared to be divisible by 3, producing a contradiction. Option A correctly states this conflict. Option B, v=0, does not follow; in a fraction denominator is nonzero anyway. Option C, u=v, is unrelated to the equation and is not required. Option D, square root of 3 equals zero, is false and is not the contradiction used. The proof works by comparing divisibility facts, not by claiming arbitrary values are zero or equal. Memory cue: no factor 3 in u means no factor 3 in u squared, but the equation supplies one.सीधा उत्तर A है। यदि u, 3 से विभाज्य नहीं है, तो u² भी 3 से विभाज्य नहीं होगा, क्योंकि वर्ग करने से कोई अनुपस्थित अभाज्य गुणनखंड अचानक नहीं आ सकता। लेकिन समीकरण u²=3v² के दाईं ओर 3 स्पष्ट रूप से गुणनखंड है, इसलिए दायाँ पक्ष 3 से विभाज्य है। समानता के कारण बायाँ पक्ष u² भी 3 से विभाज्य होना चाहिए। इस प्रकार एक ही समय में u² के 3 से विभाज्य न होने और विभाज्य होने का विरोधाभास मिलता है। विकल्प A इसी विरोध को सही ढंग से बताता है। विकल्प B, v=0, समीकरण से सिद्ध नहीं होता और भिन्न में हर शून्य भी नहीं हो सकता। विकल्प C, u=v, अप्रासंगिक है। विकल्प D, √3=0, गलत है और प्रमाण का विरोधाभास नहीं है। प्रमाण में मनमाने मानों को शून्य या बराबर नहीं माना जाता; केवल विभाज्यता की तुलना की जाती है। याद रखें: u में 3 नहीं तो u² में भी 3 नहीं, जबकि समीकरण 3 दे रहा है।
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