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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, मान लिया जाए, तो प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?

If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, is assumed, which conclusion creates a contradiction in the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं

Explanation

Simple Explanation

\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों की समान विभाज्यता जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: check common divisibility of both terms.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, मान लिया जाए, तो प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है? / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers, is assumed, which conclusion creates a contradiction in the proof?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं. Explanation: \(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों की समान विभाज्यता जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: check common divisibility of both terms.