Which statement is sufficient to reject the rational assumption for √3?√3 को परिमेय मानने की धारणा को अस्वीकार करने के लिए कौन-सा कथन पर्याप्त है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both u and v in lowest form are divisible by 3सरलतम रूप में लिए गए u और v दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं
A rational number must be expressible as u/v, where u and v are integers, v ≠ 0, and the fraction is in lowest terms, so gcd(u,v) = 1. In the proof, assuming √3 = u/v leads to u² = 3v². The divisibility argument first gives 3 ∣ u and then, after writing u = 3t and substituting, gives 3 ∣ v. Thus u and v have the common factor 3, contradicting their coprime, lowest-form condition. This contradiction rejects the rational assumption. Option B contains the complete sufficient statement; A and C give only partial information, and D does not contradict rationality.किसी परिमेय संख्या को u/v के रूप में लिखा जाता है, जहाँ u और v पूर्णांक, v ≠ 0 तथा भिन्न सरलतम रूप में होती है; इसलिए gcd(u,v) = 1 होता है। √3 = u/v मानने पर u² = 3v² मिलता है। विभाज्यता के नियम से पहले 3 ∣ u सिद्ध होता है। u = 3t रखकर समीकरण में प्रतिस्थापन करने पर v² = 3t² मिलता है और फिर 3 ∣ v सिद्ध होता है। अतः u और v दोनों में 3 का समान गुणनखंड है, जो gcd(u,v) = 1 के विपरीत है। यही विरोधाभास परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए B पर्याप्त है; A और C अधूरे हैं तथा D कोई विरोधाभास नहीं बनाता।
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