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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

रिया मानती है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद, विरोधाभास प्राप्त करने के लिए सही अगला कथन कौन-सा है?

Riya assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After concluding from \(p^2=3q^2\) that \(p\) is divisible by 3, which is the correct next statement to obtain a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(q\) भी 3 से विभाज्य होना चाहिए\(q\) must also be divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में हो तो मूल संख्या में भी होता है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.

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रिया मानती है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद, विरोधाभास प्राप्त करने के लिए सही अगला कथन कौन-सा है? / Riya assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After concluding from \(p^2=3q^2\) that \(p\) is divisible by 3, which is the correct next statement to obtain a contradiction?

Correct Answer: A. \(q\) भी 3 से विभाज्य होना चाहिए / \(q\) must also be divisible by 3. Explanation: यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड वर्ग में हो तो मूल संख्या में भी होता है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.