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In a proof by contradiction that \(\sqrt{2}\) is irrational, why must \(p\) and \(q\) be chosen coprime when assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)?yदि \(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण में मान लिया जाए कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), तो \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य चुनना क्यों आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ताकि \(p\) और \(q\) दोनों के सम होने से प्राप्त विरोधाभास स्पष्ट हो सके।ताकि \(p\) और \(q\) दोनों के सम होने से प्राप्त विरोधाभास स्पष्ट हो सके।
In lowest terms, \(p\) and \(q\) have no common factor. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even; substituting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: always begin with a fraction in lowest form.सह-अभाज्य रूप में \(p\) और \(q\) का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम मिलता है, जो इस शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा-टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को पहले सरलतम रूप में लें।
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