What is the most exam-useful caution in the proofs of √2 and √3?√2 और √3 के प्रमाणों में परीक्षा की दृष्टि से सबसे महत्वपूर्ण सावधानी कौन-सी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Always write the fraction in lowest coprime formभिन्न को हमेशा सरलतम सहभाज्य रूप में लिखें
The proof uses contradiction and begins by assuming √n = u/v, where u and v are integers in lowest terms and v ≠ 0. The lowest-terms condition is essential because it gives gcd(u,v) = 1. The divisibility argument then shows that the same prime divides both u and v, contradicting this condition. Without first reducing the fraction, finding a common factor would not necessarily be a contradiction: unreduced fractions can naturally have common factors. Therefore A is the crucial exam precaution. B is invalid because a denominator cannot be zero, C is only approximation, and D is an unjustified assumption.यह प्रमाण विरोधाभास की विधि पर आधारित है और √n = u/v मानकर शुरू किया जाता है, जहाँ u और v पूर्णांक होते हैं, v ≠ 0 होता है तथा भिन्न सरलतम रूप में होती है। सरलतम रूप की शर्त से gcd(u,v) = 1 मिलता है। इसके बाद विभाज्यता का तर्क दिखाता है कि वही अभाज्य संख्या u और v दोनों को विभाजित करती है, जिससे विरोधाभास उत्पन्न होता है। यदि भिन्न पहले से सरल न हो, तो समान गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं होगा, क्योंकि असरल भिन्नों में ऐसा होना सामान्य है। इसलिए A आवश्यक सावधानी है। B अमान्य है, C केवल अनुमान है और D बिना आधार की धारणा है।
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