What is the correct difference between the roles of (v\neq0) and (\gcd(u,v)=1) in the proof of (\sqrt{3})?(\sqrt{3}) के प्रमाण में (v\neq0) और (\gcd(u,v)=1) की भूमिकाओं का सही अंतर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (v\neq0) keeps the fraction defined, (\gcd(u,v)=1) is the basis of final contradiction(v\neq0) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(u,v)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है
The direct answer is A. These two conditions have different jobs in the proof. To discuss \(\sqrt{3}=u/v\), the denominator must satisfy \(v\neq0\); otherwise the fraction is undefined. The condition \(\gcd(u,v)=1\) says that u and v have no common factor greater than 1, meaning the fraction is in lowest form. In the contradiction proof, squaring gives \(u^2=3v^2\), which eventually shows that both u and v are divisible by 3. That conflicts specifically with \(\gcd(u,v)=1\), not with merely \(v\neq0\). Option A correctly separates the roles. Option B is wrong because \(v\neq0\) only permits division; it does not immediately imply \(u=3t\). Option C is the opposite of the meaning of coprime numbers. Option D is wrong because nonzero denominator and lowest form are separate requirements. Exam cue: nonzero denominator makes the fraction legal; coprime numerator and denominator make the final contradiction possible.सीधा उत्तर A है। प्रमाण में इन दोनों शर्तों का काम अलग-अलग है। \(\sqrt{3}=u/v\) लिखने के लिए हर v का \(v\neq0\) होना जरूरी है, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं होता। \(\gcd(u,v)=1\) का अर्थ है कि u और v का 1 से बड़ा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है; अर्थात भिन्न सरलतम रूप में है। विरोधाभास के प्रमाण में \(u^2=3v^2\) मिलता है और अंततः सिद्ध होता है कि u और v दोनों 3 से विभाज्य हैं। यह बात विशेष रूप से \(\gcd(u,v)=1\) से टकराती है, केवल \(v\neq0\) से नहीं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है, क्योंकि v का शून्य न होना केवल भिन्न को परिभाषित रखता है; इससे तुरंत \(u=3t\) नहीं मिलता। विकल्प C गलत है, क्योंकि सहभाज्य होने का अर्थ v=0 नहीं है। विकल्प D गलत है; हर का अशून्य होना और भिन्न का सरलतम रूप में होना दो अलग शर्तें हैं। परीक्षा संकेत: अशून्य हर भिन्न को वैध बनाता है; सहभाज्यता अंतिम विरोधाभास बनाती है।
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