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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। उसे \(a^2=3b^2\) प्राप्त होता है। प्रमाण को आगे बढ़ाने के लिए कौन-सा निष्कर्ष सही है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), a student assumes \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime. The student obtains \(a^2=3b^2\). Which conclusion is correct for proceeding with the proof?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a\) 3 से विभाज्य है\(a\) is divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(a^2=3b^2\) से \(a^2\), 3 से विभाज्य है। किसी पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य हो तो वह पूर्णांक भी 3 से विभाज्य होता है; अतः \(a=3k\) लें। रखने पर \(b\) भी 3 से विभाज्य निकलेगा, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: 3 के लिए शेषफल 0, 1, 2 के वर्ग जाँचें। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by 3. If the square of an integer is divisible by 3, the integer itself is divisible by 3, so write \(a=3k\). Substitution then makes \(b\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: check squares of remainders 0, 1, and 2 modulo 3.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते हुए मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं। उसे \(a^2=3b^2\) प्राप्त होता है। प्रमाण को आगे बढ़ाने के लिए कौन-सा निष्कर्ष सही है? / While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), a student assumes \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime. The student obtains \(a^2=3b^2\). Which conclusion is correct for proceeding with the proof?

Correct Answer: A. \(a\) 3 से विभाज्य है / \(a\) is divisible by 3. Explanation: \(a^2=3b^2\) से \(a^2\), 3 से विभाज्य है। किसी पूर्णांक का वर्ग 3 से विभाज्य हो तो वह पूर्णांक भी 3 से विभाज्य होता है; अतः \(a=3k\) लें। रखने पर \(b\) भी 3 से विभाज्य निकलेगा, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: 3 के लिए शेषफल 0, 1, 2 के वर्ग जाँचें। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by 3. If the square of an integer is divisible by 3, the integer itself is divisible by 3, so write \(a=3k\). Substitution then makes \(b\) divisible by 3 too, contradicting coprimality. Exam tip: check squares of remainders 0, 1, and 2 modulo 3.