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Which statement is an essential basis of the proof by contradiction that \(\sqrt{2}\) is irrational?निम्नलिखित में से कौन-सा कथन
\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के विरोधाभास-प्रमाण का आवश्यक आधार है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है।यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है।
Assume \(\sqrt{2}=p/q\) in lowest terms. Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\) is even and hence \(p\) is even. This later makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: remember that an even square has an even integer root.मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। आगे \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से सम मूल का नियम याद रखें।
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