What is the correct difference between the roles of (y\neq0) and (\gcd(x,y)=1) in the proof of (\sqrt{2})?(\sqrt{2}) के प्रमाण में (y\neq0) और (\gcd(x,y)=1) की भूमिकाओं का सही अंतर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (y\neq0) keeps the fraction defined, (\gcd(x,y)=1) gives contradiction(y\neq0) भिन्न को परिभाषित रखता है, (\gcd(x,y)=1) विरोधाभास देता है
In a proof by contradiction, a rational number is written as a fraction such as \(x/y\), where \(x\) and \(y\) are integers. The condition \(y\neq0\) is needed simply because division by zero is not defined. It allows the fraction to represent a number. The condition \(\gcd(x,y)=1\) says that the fraction has already been reduced to lowest terms; it is not merely a requirement for writing the fraction.
For \(\sqrt{2}=x/y\), squaring gives \(x^2=2y^2\). This shows that \(x\) is even, and then \(y\) is also even. Thus both numbers have a common factor 2, contradicting \(\gcd(x,y)=1\). Therefore option A correctly separates the roles: the non-zero denominator keeps the fraction meaningful, while the coprime condition is what the final common factor contradicts.विरोधाभास द्वारा प्रमाण में किसी परिमेय संख्या को \(x/y\) जैसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(x\) और \(y\) पूर्णांक होते हैं। \(y\neq0\) इसलिए आवश्यक है क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। यह शर्त केवल भिन्न को अर्थपूर्ण और परिभाषित रखती है। दूसरी ओर, \(\gcd(x,y)=1\) का अर्थ है कि भिन्न पहले ही अपने सरलतम रूप में है; यह भिन्न लिखने की साधारण शर्त नहीं है।
यदि \(\sqrt{2}=x/y\), तो वर्ग करने पर \(x^2=2y^2\) मिलता है। इससे \(x\) सम होता है और फिर \(y\) भी सम निकलता है। इसलिए दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड है, जो \(\gcd(x,y)=1\) का विरोध करता है। अतः विकल्प A दोनों भूमिकाओं का सही अंतर बताता है।
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