Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a) सम है/\(a^2\) is even, so (a) is even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम मिलता है। फिर नियम से (a) सम सिद्ध होता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is even. Then the rule proves (a) is even.
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) (3) का गुणज है। / If prime (3) divides a square, it divides the number too. So (p) is a multiple of (3).
दोनों पक्षों को (2) से भाग देने पर \(b^2=2r^2\) मिलता है। इससे (b) सम सिद्ध होता है। / Dividing both sides by (2) gives \(b^2=2r^2\). This proves (b) is even.
(p=3k) रखने पर \(9k^2=3q^2\) आता है। इससे \(q^2=3k^2\) और फिर (q) (3) से विभाज्य है। / Putting (p=3k) gives \(9k^2=3q^2\). Hence \(q^2=3k^2\), so (q) is divisible by (3).
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य माने गए थे। दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाता है। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime. If both are even, common factor (2) appears.
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। बाद में (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना पड़ता है। / Only (p) being divisible by (3) is not the final contradiction. Later (q) must also be proved divisible by (3).
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती/The fraction cannot be in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप की मान्यता को तोड़ता है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This breaks the lowest form assumption.
D. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b)/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष केवल (a) का सम होना है। / The square relation does not directly give (a=2b). The correct conclusion is only that (a) is even.
D. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), directly (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किया जाता है। / The square relation does not directly give (p=3q). First (p) is proved divisible by (3).
A. तब \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होगा, पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/Then \(p^2\) would not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) का गुणनखंड \(p^2\) में तभी होगा जब (p) में हो। समीकरण इस विभाज्यता को अनिवार्य करता है। / Prime factor (3) appears in \(p^2\) only if it appears in (p). The equation forces this divisibility.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही मानक विरोधाभास प्रमाण की पूरी श्रृंखला है। हर चरण में पिछले चरण का उपयोग होता है। / This is the full standard chain of proof by contradiction. Each step uses the previous step.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य मान्यता टूटती है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally the coprime assumption breaks.
A. दोनों सम निकलने पर वास्तविक विरोधाभास/A real contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
यदि सहभाज्य शर्त न हो, तो दोनों सम मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। सरलतम रूप प्रमाण की रीढ़ है। / Without the coprime condition, both even would not create a contradiction. Lowest form is the backbone of the proof.
A. दोनों (3) से विभाज्य निकलने पर विरोधाभास बनता है/A contradiction forms when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से टकराता है। / In lowest form, (p) and (q) are coprime. Both being divisible by (3) conflicts with this.
(a=2r) से (a) सम है और \(b^2=2r^2\) से (b) सम है। इसलिए दोनों सम हैं। / (a=2r) shows (a) is even and \(b^2=2r^2\) shows (b) is even. Therefore both are even.
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(p=3k) से (p) (3) से विभाज्य है और \(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है। / (p=3k) shows (p) is divisible by (3), and \(q^2=3k^2\) shows (q) is also divisible by (3).
A. यदि संख्या विषम है तो उसका वर्ग विषम है, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
समता के नियम को सही दिशा में उपयोग करना जरूरी है। इसी से (a) और (b) सम सिद्ध होते हैं। / It is necessary to use the parity rule in the correct direction. This proves (a) and (b) even.
A. यदि \(3\mid p^2\) तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\)
Explanation
Simple Explanation
(3) अभाज्य है इसलिए वर्ग में (3) का गुणनखंड मूल संख्या से आता है। यह प्रमाण का मुख्य नियम है। / Since (3) is prime, factor (3) in the square comes from the original number. This is the key rule.
A. यह आवश्यक रूप से सही नहीं है; पहले (a) सम सिद्ध करके प्रतिस्थापन चाहिए/It is not necessarily justified; first prove (a) even and substitute
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से सीधे \(b^2\) सम नहीं मिलता। (a=2r) रखने के बाद ही \(b^2=2r^2\) मिलता है। / \(a^2=2b^2\) does not directly give \(b^2\) even. Only after putting (a=2r) do we get \(b^2=2r^2\).
A. चरण अधूरा है; पहले (p=3k) रखना होगा/The step is incomplete; first (p=3k) must be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) का निष्कर्ष मिलता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then putting (p=3k) gives the conclusion for (q).
A. प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में और (\gcd(a,b)=1) के साथ लेना चाहिए/In proof, \(\frac{a}{b}\) should be taken in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए सरलतम रूप जरूरी है। तभी दोनों सम निकलने पर (\gcd(a,b)=1) से टकराव होगा। / Lowest form is needed for contradiction. Then both becoming even conflicts with (\gcd(a,b)=1).
A. यह अंतिम चरण में (3) के सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास दिलाता है/It gives contradiction with common factor (3) in the final step
Explanation
Simple Explanation
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कोई सामान्य गुणनखंड नहीं। पर प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / (\gcd(p,q)=1) means no common factor. But the proof makes both divisible by (3).
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और फिर अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and then contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है, पर अभाज्य गुणनखंड क्रमशः (2) और (3) है। तुलना में यह बात लिखें। / Both proofs have the same structure, but the prime factors are (2) and (3) respectively. Mention this in comparison.
A. (b) को भी सम सिद्ध करना/To prove (b) is also even
Explanation
Simple Explanation
(a=2r) रखने से समीकरण बदलकर \(b^2=2r^2\) बनता है। इससे (b) सम सिद्ध होता है। / Taking (a=2r) changes the equation to \(b^2=2r^2\). This proves (b) is even.
A. सरलतम रूप के (a,b) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (a,b) both turn out divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
अंतिम विरोधाभास दोनों के (2) से विभाज्य होने पर ही पूरा होता है। यह सहभाज्य मान्यता को तोड़ता है। / The final contradiction completes only when both are divisible by (2). This breaks the coprime assumption.
B. सरलतम रूप के (p,q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (p,q) both turn out divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(p,q)=1). Therefore the rational assumption is false.
A. अभाज्य गुणनखंडों की घात वर्ग में सम होती है/Exponents of prime factors in a square are even
Explanation
Simple Explanation
वर्ग में अभाज्य गुणनखंडों की घात सम होती है। (2) की विषम घात जैसी स्थिति विरोधाभास बनाती है। / In a square, exponents of prime factors are even. A situation like an odd power of (2) creates contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3q^2\) में (3) की घात विषम हो जाती है/In a perfect square, the exponent of (3) must be even, but in \(3q^2\) it becomes odd
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को मजबूत बनाता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. This principle strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
A. वह (1) और कम से कम (2) दोनों नहीं हो सकता/It cannot be both (1) and at least (2)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से (\gcd(a,b)=1), पर दोनों सम होने से (\gcd(a,b)\ge 2)। यही विरोधाभास है। / Coprime gives (\gcd(a,b)=1), but both even gives (\gcd(a,b)\ge 2). This is the contradiction.
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge 3) दोनों साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge 3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से वह कम से कम (3) होगा। / Being coprime means the HCF is (1). Both divisible by (3) means it is at least (3).
A. यह \(\frac{a}{b}\) को परिभाषित रखता है, पर मुख्य विरोधाभास सहभाज्य शर्त से आता है/It keeps \(\frac{a}{b}\) defined, but the main contradiction comes from coprime condition
Explanation
Simple Explanation
\(b\neq0\) भिन्न के लिए आवश्यक शर्त है। विरोधाभास दोनों के सम होने से आता है। / \(b\neq0\) is necessary for the fraction. The contradiction comes from both being even.
A. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, सहभाज्य शर्त विरोधाभास देती है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined, the coprime condition gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य होना अंतिम सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास बनाता है। / Non-zero denominator is for definition. Coprime condition creates contradiction with the final common factor.
A. (a) सम होने के बाद (a=2r) रखकर (b) सम सिद्ध करना/After proving (a) even, taking (a=2r) to prove (b) even
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं है। (b) को भी सम सिद्ध करना आवश्यक है। / Only (a) being even is not a contradiction. It is necessary to prove (b) also even.
A. (p=3k) रखने के बाद (q) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/After taking (p=3k), proving (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना पर्याप्त नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तभी विरोधाभास पूरा होता है। / Only (p) being divisible by (3) is not enough. The contradiction completes only when (q) is also divisible by (3).
A. प्रमाण का विरोधाभास कमजोर हो जाएगा/The contradiction in the proof will become weak
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप की शर्त लिखना जरूरी है। अंतिम चरण में इसी से दोनों सम होने का विरोधाभास बनता है। / It is necessary to state lowest form. The final contradiction depends on both being even against this condition.
A. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा/The contradiction will not be clear when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त के बिना सामान्य गुणनखंड (3) मिलना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा। / Without the coprime condition, getting common factor (3) will not be a decisive contradiction.
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों के (2) से विभाज्य होने पर अंश और हर को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप से विरोध है। / If both are divisible by (2), numerator and denominator can be reduced by (2). This opposes lowest form.
A. क्योंकि दोनों को (3) से भाग दिया जा सकता है/Because both can be divided by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती। / Both have common factor (3). Therefore the fraction cannot remain in lowest form.
A. (2) वह अभाज्य गुणनखंड है जो अंश और हर दोनों में सामान्य बनकर विरोधाभास देता है/(2) is the prime factor that becomes common in numerator and denominator and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में (2) पहले (a) और फिर (b) का गुणनखंड बनता है। यही सहभाज्य शर्त से टकराता है। / In the proof, (2) first becomes a factor of (a) and then of (b). This conflicts with coprime condition.
A. (3) वह अभाज्य गुणनखंड है जो (p) और (q) दोनों में सामान्य होकर विरोधाभास देता है/(3) is the prime factor that becomes common in both (p) and (q) and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में (3) पहले (p) और फिर (q) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यही अंतिम विरोधाभास है। / In the proof, (3) is proved to be a factor of (p) and then (q). This is the final contradiction.
A. विरोधाभास के लिए (b) को भी सम सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (b) must also be proved even
Explanation
Simple Explanation
एक ही संख्या का सम होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं देता। दोनों का सम होना जरूरी है। / One number being even does not contradict coprime condition. Both being even is necessary.
A. विरोधाभास के लिए (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं देता। (p) और (q) दोनों में (3) होना जरूरी है। / Only (p) having factor (3) gives no contradiction. Both (p) and (q) must have factor (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत होती है। / Both even contradicts lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. भिन्न को सरलतम रूप में सहभाज्य अंश-हर के साथ जरूर लिखें/Always write the fraction in lowest form with coprime numerator and denominator
Explanation
Simple Explanation
अधिकतर गलती सरलतम रूप न लिखने से होती है। यही अंतिम विरोधाभास का आधार है। / Most mistakes happen by not writing lowest form. This is the basis of the final contradiction.
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होना चाहिए। दोनों सम होने पर (\gcd(a,b)\ge 2) हो जाता है। / In lowest form, (\gcd(a,b)=1) should hold. If both are even, (\gcd(a,b)\ge 2).
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य होने पर (\gcd(p,q)\ge 3) होगा। / In lowest form, (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), (\gcd(p,q)\ge 3).
