Which option states the correct hidden principle used in the proof of \(\sqrt{2}\) is irrational?\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में प्रयुक्त सही “छिपा हुआ सिद्धांत” कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If \(p\) is a prime and \(p\mid a^2\), then \(p\mid a\).यदि \(p\) एक अभाज्य संख्या है और \(p\mid a^2\), तो \(p\mid a\).
In the standard proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), we assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) in lowest terms, giving \(2q^2=p^2\). Then \(2\mid p^2\). The key step needed is: for a prime \(2\), if \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\). This exactly matches the principle in option A. The other options are not the correct divisibility rule used at that step.\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने का सामान्य प्रमाण में हम मानते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) न्यूनतम रूप में है, जिससे \(2q^2=p^2\) मिलता है। तब \(2\mid p^2\)। इसके लिए आवश्यक मुख्य कदम यह है कि अभाज्य \(2\) के लिए यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\)। यही विकल्प A में दिया गया सिद्धांत है। बाकी विकल्प उसी चरण में प्रयुक्त सही विभाज्यता नियम नहीं हैं।
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