In the proof of √3, if a student stops after proving only p is divisible by 3, what is the error?√3 के प्रमाण में यदि कोई छात्र केवल p को 3 से विभाज्य सिद्ध करके रुक जाए, तो त्रुटि क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: To obtain a contradiction, q must also be proved divisible by 3विरोधाभास के लिए q को भी 3 से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है
The proof begins by assuming √3 = p/q in lowest terms, so gcd(p,q) = 1. After squaring, p² = 3q², which implies that 3 divides p. However, that fact alone is not a contradiction: a numerator may be divisible by 3 while the denominator is not. The argument must continue by writing p = 3k and substituting into the equation. This leads to q² being divisible by 3, and hence q is divisible by 3 as well. Then p and q share the factor 3, contradicting gcd(p,q) = 1. Thus option A identifies the missing step; the other options either deny a valid result or introduce irrelevant conditions.प्रमाण की शुरुआत √3 = p/q मानकर की जाती है, जहाँ भिन्न सरलतम रूप में है और इसलिए gcd(p,q) = 1 है। वर्ग करने पर p² = 3q² प्राप्त होता है, जिससे 3, p को विभाजित करता है। लेकिन केवल यह निष्कर्ष विरोधाभास नहीं है, क्योंकि अंश 3 से विभाज्य हो सकता है और हर नहीं भी। आगे p = 3k रखकर मूल समीकरण में प्रतिस्थापन करना आवश्यक है। इससे q² और फिर q भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। अब p तथा q दोनों में 3 का गुणनखंड है, इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक 1 नहीं रह सकता। यही विरोधाभास है। इसलिए विकल्प A सही है; बाकी विकल्प या तो गलत हैं या प्रमाण से असंबंधित हैं।
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