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A. यह केवल सन्निकट मान है; \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है।
Explanation
Simple Explanation
कैलकुलेटर सीमित अंकों तक केवल सन्निकट मान दिखाता है। \(1^2<3<2^2\) से \(\sqrt{3}\) 1 और 2 के बीच है, पर इसका दशमलव असांत-अनावर्ती है; इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा में प्रदर्शित दशमलव को सटीक मान न मानें। / A calculator shows only a rounded approximation. Since \(1^2<3<2^2\), \(\sqrt{3}\) lies between 1 and 2, but its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Exam tip: never treat a finite display as the exact decimal expansion.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानता है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। सिद्ध करने पर उसे मिलता है कि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं। इससे कौन-सा निर्णायक निष्कर्ष निकलता है?
B. \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य नहीं हैं, इसलिए प्रारम्भिक मान्यता गलत है/\(a\) and \(b\) are not coprime, so the original assumption is false
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं, तो दोनों 2 से विभाज्य हैं; अतः वे सह-अभाज्य नहीं हो सकते। यह मूल मान्यता का विरोधाभास है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य होने की शर्त अवश्य जाँचें। / If both \(a\) and \(b\) are even, each is divisible by 2, so they cannot be coprime. This contradicts the original assumption; hence \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: always use the lowest-terms condition to identify the contradiction.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय यदि सिद्ध हो जाए कि 3, \(a\) और \(b\) दोनों को विभाजित करता है, तो कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण में विरोधाभास उत्पन्न करता है?
C. \(a\) और \(b\) के 1 के अतिरिक्त एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है/\(a\) and \(b\) have a common factor other than 1
Explanation
Simple Explanation
यदि 3, \(a\) और \(b\) दोनों को विभाजित करता है, तो उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है। यह \(a/b\) को न्यूनतम रूप में तथा \(a,b\) को सह-अभाज्य मानने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा सह-अभाज्यता से जोड़ें। / If 3 divides both \(a\) and \(b\), then 3 is their common factor. This contradicts the initial condition that \(a/b\) is in lowest terms and \(a,b\) are coprime. Exam tip: link the contradiction to coprimality.
3 अभाज्य है। n को 3 से भाग देने पर शेष 0, 1 या 2 हो सकता है; 1² और 2² दोनों का शेष 1 आता है। अतः n² का शेष 0 होने के लिए n का शेष 0 होना चाहिए, यानी n 3 से विभाज्य है। परीक्षा टिप: यह तथ्य
√3 की अपरिमेयता के प्रमाण में प्रयुक्त होता है। / Since 3 is prime, an integer leaves remainder 0, 1, or 2 on division by 3. The squares of remainders 1 and 2 both leave remainder 1. Thus, for n² to leave remainder 0, n must leave remainder 0 and be divisible by 3. Exam tip: this result is central to the proof that √3 is irrational.
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य माने गए थे। दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिल जाता है। / In lowest form, (a) and (b) were assumed coprime. If both are even, common factor (2) appears.
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना अंतिम विरोधाभास नहीं है। बाद में (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना पड़ता है। / Only (p) being divisible by (3) is not the final contradiction. Later (q) must also be proved divisible by (3).
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती/The fraction cannot be in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप की मान्यता को तोड़ता है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This breaks the lowest form assumption.
एक विद्यार्थी कहता है, “यदि किसी वर्ग का क्षेत्रफल परिमेय है, तो उसकी भुजा भी परिमेय होगी।” निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके कथन को गलत सिद्ध करता है?
B. क्षेत्रफल \(2\,\text{cm}^2\), भुजा \(\sqrt{2}\,\text{cm}\)/Area \(2\,\text{cm}^2\), side \(\sqrt{2}\,\text{cm}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग की भुजा \(s\) के लिए \(s^2=A\) होता है। \(A=2\) होने पर \(s=\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। इसलिए परिमेय क्षेत्रफल से परिमेय भुजा आवश्यक नहीं। परीक्षा में क्षेत्रफल का वर्गमूल लें। / For a square, \(s^2=A\). When \(A=2\), the side is \(s=\sqrt{2}\), which is irrational. Hence, a rational area need not give a rational side. In exams, first take the square root of the area.
मान लें कि \\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\\), जहाँ \\(p\\) और \\(q\\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \\(p^2=3q^2\\) से कौन-सा निष्कर्ष वह विरोधाभास देता है जो \\(\sqrt{3}\\) को अपरिमेय सिद्ध करता है?
A. \\(p\\) और \\(q\\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \\(p\\) and \\(q\\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\\(p^2=3q^2\\) से \\(3\\mid p^2\\), इसलिए अभाज्य गुणनखंड नियम से \\(3\\mid p\\)। \\(p=3k\\) रखने पर \\(q^2=3k^2\\), अतः \\(3\\mid q\\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग में किसी अभाज्य का गुणनखंड होने पर वह संख्या में भी होता है। / From \\(p^2=3q^2\\), \\(3\\mid p^2\\); since 3 is prime, \\(3\\mid p\\). Put \\(p=3k\\) to get \\(q^2=3k^2\\), so \\(3\\mid q\\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हो जाते हैं/Both \(p\) and \(q\) become divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p\) 3 से विभाज्य है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों की विभाज्यता जाँचें। / From \(3q^2=p^2\), \(p\) must be divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: check divisibility of both terms.
A. 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; इसलिए 3, \(a\) को विभाजित करता है।
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) का गुणनखंड है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए 3, \(a\) को विभाजित करता है। फिर \(a=3k\) रखने पर \(b\) भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य \(p\mid n^2\) हो तो \(p\mid n\)। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\). Since 3 is prime, it must divide \(a\). On putting \(a=3k\), one also obtains that 3 divides \(b\), contradicting coprimality. Exam tip: if a prime \(p\mid n^2\), then \(p\mid n\).
A. तब \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होगा, पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/Then \(p^2\) would not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) का गुणनखंड \(p^2\) में तभी होगा जब (p) में हो। समीकरण इस विभाज्यता को अनिवार्य करता है। / Prime factor (3) appears in \(p^2\) only if it appears in (p). The equation forces this divisibility.
A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य हैं \(\rightarrow a^2=2b^2\rightarrow a\) सम \(\rightarrow b\) सम \(\rightarrow\) सह-अभाज्य होने के विरुद्ध
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A में विरोधाभास विधि की आवश्यक पूरी श्रृंखला है। \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(a^2=2b^2\) मिलता है। इससे \(a^2\), और इसलिए \(a\), सम होता है। \(a=2k\) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(b\) भी सम है। तब \(a\) और \(b\) दोनों 2 से विभाज्य हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल अनंत दशमलव प्रसार होने से कोई संख्या अपरिमेय नहीं होती; परिमेय संख्याओं के दशमलव भी अनंत आवर्ती हो सकते हैं। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को हमेशा सह-अभाज्य रूप में मानें। / Option A contains every essential step of the proof by contradiction. Assume \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest terms. Then \(a^2=2b^2\), so \(a^2\), and hence \(a\), is even. Writing \(a=2k\) gives \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. Thus both \(a\) and \(b\) are divisible by 2, contradicting that they are coprime. Option D is wrong because an infinite decimal alone does not prove irrationality; rational numbers may have infinite recurring decimals. Exam tip: always begin this proof by taking the fraction in lowest terms.
सरलतम रूप में \(p\) और \(q\) का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है; प्रतिस्थापन पर \(3\mid q\) भी मिलता है। अतः 3 सामान्य गुणनखंड है। परीक्षा टिप: अभाज्य के वर्ग-विभाज्यता नियम को याद रखें। / In lowest terms, \(p\) and \(q\) cannot have a common factor. From \(3\mid p^2\), we get \(3\mid p\); substitution then gives \(3\mid q\). Thus 3 is a common factor. Exam tip: use the prime divisibility rule for squares.
A. दोनों सम निकलने पर वास्तविक विरोधाभास/A real contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
यदि सहभाज्य शर्त न हो, तो दोनों सम मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। सरलतम रूप प्रमाण की रीढ़ है। / Without the coprime condition, both even would not create a contradiction. Lowest form is the backbone of the proof.
A. किसी संख्या का वर्ग परिमेय होने पर भी वह संख्या अपरिमेय हो सकती है/A number can be irrational even if its square is rational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) का वर्ग 2 है, जो परिमेय है; फिर भी \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। अतः वर्ग के परिमेय होने से मूल संख्या का परिमेय होना सिद्ध नहीं होता। परीक्षा में प्रतिलोम कथन को अलग से जाँचें। / Although \((\sqrt{2})^2=2\) is rational, \(\sqrt{2}\) is irrational. Thus, a rational square does not prove that the original number is rational. Exam tip: always test the converse of a statement separately.
a=2r से स्पष्ट है कि a, 2 का गुणज है, इसलिए a सम है। b-2=2r-2 से b-2 सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; अतः b सम है। इसलिए a और b दोनों सम हैं। “दोनों शून्य हैं” आवश्यक नहीं है, क्योंकि सम संख्याएँ शून्य के अतिरिक्त भी हो सकती हैं। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के प्रमाण में यही निष्कर्ष a और b के सह-अभाज्य होने की धारणा से विरोधाभास उत्पन्न करता है। / From a=2r, a is a multiple of 2, so a is even. From b-2=2r-2, b-2 is even. If the square of an integer is even, then the integer itself must be even; hence b is even. Therefore, both a and b are even. They need not both be zero, since non-zero even integers are also possible. Exam tip: In the irrationality proof, this result contradicts the assumption that a and b are coprime.
p = 3k से स्पष्ट है कि p, 3 से विभाज्य है। साथ ही, q² = 3k² से q², 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है। अतः q भी 3 से विभाज्य है। इसलिए p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं। विकल्प A में 2 से विभाज्यता का कोई आधार नहीं है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में दोनों सह-अभाज्य मान्य संख्याओं का एक ही अभाज्य से विभाज्य होना विरोधाभास देता है। / From p = 3k, p is divisible by 3. Also, q² = 3k² shows that q² is divisible by 3. Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it must divide that integer itself. Hence q is also divisible by 3. Therefore, both p and q are divisible by 3. Option A has no basis because divisibility by 2 is not implied. Exam tip: In contradiction proofs of irrationality, showing that two assumed coprime integers share a prime factor produces the contradiction.
A. यदि संख्या विषम है तो उसका वर्ग विषम है, इसलिए वर्ग सम हो तो संख्या सम है/If a number is odd, its square is odd, so if the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
समता के नियम को सही दिशा में उपयोग करना जरूरी है। इसी से (a) और (b) सम सिद्ध होते हैं। / It is necessary to use the parity rule in the correct direction. This proves (a) and (b) even.
A. यदि \(3\mid p^2\) तो \(3\mid p\)/If \(3\mid p^2\), then \(3\mid p\)
Explanation
Simple Explanation
(3) अभाज्य है इसलिए वर्ग में (3) का गुणनखंड मूल संख्या से आता है। यह प्रमाण का मुख्य नियम है। / Since (3) is prime, factor (3) in the square comes from the original number. This is the key rule.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\), अतः \(a\), 3 से विभाज्य होता है। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(b\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों पदों का समान गुणनखंड अवश्य लिखें। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\), and hence \(a\), is divisible by 3. Putting \(a=3k\) gives \(b^2=3k^2\), so \(b\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: state the common factor explicitly.
A. चरण अधूरा है; पहले (p=3k) रखना होगा/The step is incomplete; first (p=3k) must be taken
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) का निष्कर्ष मिलता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then putting (p=3k) gives the conclusion for (q).
A. प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में और (\gcd(a,b)=1) के साथ लेना चाहिए/In proof, \(\frac{a}{b}\) should be taken in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास के लिए सरलतम रूप जरूरी है। तभी दोनों सम निकलने पर (\gcd(a,b)=1) से टकराव होगा। / Lowest form is needed for contradiction. Then both becoming even conflicts with (\gcd(a,b)=1).
A. यदि \(n\) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो \(\sqrt{n}\) अपरिमेय है।/If \(n\) is not a perfect square, then \(\sqrt{n}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{n}\) परिमेय होने पर उसे \(p/q\) के रूप में लिखा जा सकता है; तब \(nq^2=p^2\) होता है। अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम होने से \(n\) पूर्ण वर्ग होना चाहिए। उदाहरण: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानें। / If \(\sqrt{n}=p/q\), then \(nq^2=p^2\). Since every prime exponent in a square is even, \(n\) must be a perfect square. Thus \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: first check whether the integer is a perfect square.
A. दोनों में परिमेय मान्यता, वर्ग और फिर अभाज्य गुणनखंड से विरोधाभास आता है/Both use rational assumption, squaring, and then contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है, पर अभाज्य गुणनखंड क्रमशः (2) और (3) है। तुलना में यह बात लिखें। / Both proofs have the same structure, but the prime factors are (2) and (3) respectively. Mention this in comparison.
A. यदि \(5+\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसमें से 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होता, जो असंभव है।/If \(5+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5+\sqrt{3}\) परिमेय है। 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होगा, जो विरोधाभास है। 5 का परिमेय होना पर्याप्त नहीं। टिप: परिमेय संख्याएँ घटाव के लिए बंद हैं। / Assume \(5+\sqrt{3}\) is rational. Subtracting 5 makes \(\sqrt{3}\) rational, a contradiction. Thus 5 being rational is insufficient. Exam tip: rationals are closed under subtraction.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में, यदि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं तथा \(p^2=3q^2\), तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष तुरंत निकलता है?
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए यदि 3 किसी वर्ग को विभाजित करे तो वह उसके आधार \(p\) को भी विभाजित करता है; अतः \(3\mid p\)। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य विभाज्यता का नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, if it divides a square, it must divide its base \(p\); hence \(3\mid p\). Only after writing \(p=3k\) can we show \(3\mid q\), contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property carefully.
A. सरलतम रूप के (a,b) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (a,b) both turn out divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
अंतिम विरोधाभास दोनों के (2) से विभाज्य होने पर ही पूरा होता है। यह सहभाज्य मान्यता को तोड़ता है। / The final contradiction completes only when both are divisible by (2). This breaks the coprime assumption.
B. सरलतम रूप के (p,q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Lowest-form (p,q) both turn out divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / Both being divisible by (3) contradicts (\gcd(p,q)=1). Therefore the rational assumption is false.
A. अभाज्य गुणनखंडों की घात वर्ग में सम होती है/Exponents of prime factors in a square are even
Explanation
Simple Explanation
वर्ग में अभाज्य गुणनखंडों की घात सम होती है। (2) की विषम घात जैसी स्थिति विरोधाभास बनाती है। / In a square, exponents of prime factors are even. A situation like an odd power of (2) creates contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर \(3q^2\) में (3) की घात विषम हो जाती है/In a perfect square, the exponent of (3) must be even, but in \(3q^2\) it becomes odd
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। यही सिद्धांत \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को मजबूत बनाता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. This principle strengthens the proof of \(\sqrt{3}\).
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में माना जाए, तो \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?
\(p^2=3q^2\) से स्पष्ट है कि \(p^2\), 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है तो 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग पर ध्यान दें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies divisibility of \(p\) by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-factor property for squares.
A. \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}\) परिमेय है, क्योंकि यह \(\frac12\) के बराबर है/\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}\) is rational because it equals \(\frac12\).
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), अतः \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac12\), जो परिमेय है। पर \(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय और \(\sqrt{3}-\sqrt{3}=0\) है। टिप: पहले मूलों को सरल करें। / Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=\frac12\), which is rational. But \(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational and \(\sqrt{3}-\sqrt{3}=0\). Tip: simplify radicals first.
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\), अतः \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य होने का विरोधाभास पहचानें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\), and hence \(p\), is divisible by 3. Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: look for a common factor contradiction.
A. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, सहभाज्य शर्त विरोधाभास देती है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined, the coprime condition gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य होना अंतिम सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास बनाता है। / Non-zero denominator is for definition. Coprime condition creates contradiction with the final common factor.
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-divisibility rule.
A. (p=3k) रखने के बाद (q) को (3) से विभाज्य सिद्ध करना/After taking (p=3k), proving (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना पर्याप्त नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तभी विरोधाभास पूरा होता है। / Only (p) being divisible by (3) is not enough. The contradiction completes only when (q) is also divisible by (3).
A. प्रमाण का विरोधाभास कमजोर हो जाएगा/The contradiction in the proof will become weak
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप की शर्त लिखना जरूरी है। अंतिम चरण में इसी से दोनों सम होने का विरोधाभास बनता है। / It is necessary to state lowest form. The final contradiction depends on both being even against this condition.
मान लीजिए कि \(r=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) एक परिमेय संख्या है। इस मान्यता से प्राप्त कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) अपरिमेय है?
A. \(r^2=5+2\sqrt{6}\), अतः \(\sqrt{6}\) परिमेय होगा, जो असंभव है/\(r^2=5+2\sqrt{6}\), so \(\sqrt{6}\) would be rational, which is impossible
Explanation
Simple Explanation
परिमेय \(r\) के लिए \(r^2\) भी परिमेय है। \(r^2=5+2\sqrt6\) से \(\sqrt6=(r^2-5)/2\) परिमेय होगा, जबकि 6 पूर्ण वर्ग नहीं है। टिप: वर्ग करते समय \(2\sqrt6\) न छोड़ें। / If \(r\) were rational, \(r^2\) would also be rational. From \(r^2=5+2\sqrt6\), \(\sqrt6=(r^2-5)/2\) would be rational, impossible because 6 is not a perfect square. Exam tip: retain the cross term \(2\sqrt6\).
A. क्योंकि दोनों (2) से विभाज्य हैं/Because both are divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों के (2) से विभाज्य होने पर अंश और हर को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम रूप से विरोध है। / If both are divisible by (2), numerator and denominator can be reduced by (2). This opposes lowest form.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{3}\) का दशमलव प्रसार 1.732... है और समाप्त नहीं होता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?
A. केवल असांत दशमलव प्रसार से संख्या अपरिमेय सिद्ध नहीं होती, क्योंकि परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार आवर्ती हो सकता है।/A non-terminating decimal alone does not prove irrationality, because a rational number may have a recurring decimal expansion.
Explanation
Simple Explanation
असांत दशमलव पर्याप्त प्रमाण नहीं है; \(\frac{1}{3}=0.333...\) असांत लेकिन परिमेय है। अपरिमेय दशमलव असांत और अनावर्ती होता है। परीक्षा में दोनों शर्तें याद रखें। / A non-terminating decimal is not sufficient: \(\frac{1}{3}=0.333...\) is non-terminating but rational. An irrational decimal is non-terminating and non-recurring. Exam tip: check recurrence too.
A. (2) वह अभाज्य गुणनखंड है जो अंश और हर दोनों में सामान्य बनकर विरोधाभास देता है/(2) is the prime factor that becomes common in numerator and denominator and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में (2) पहले (a) और फिर (b) का गुणनखंड बनता है। यही सहभाज्य शर्त से टकराता है। / In the proof, (2) first becomes a factor of (a) and then of (b). This conflicts with coprime condition.
A. (3) वह अभाज्य गुणनखंड है जो (p) और (q) दोनों में सामान्य होकर विरोधाभास देता है/(3) is the prime factor that becomes common in both (p) and (q) and gives contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में (3) पहले (p) और फिर (q) का गुणनखंड सिद्ध होता है। यही अंतिम विरोधाभास है। / In the proof, (3) is proved to be a factor of (p) and then (q). This is the final contradiction.
A. विरोधाभास प्राप्त करने के लिए \(b\) को भी सम सिद्ध करना आवश्यक है/To obtain a contradiction, \(b\) must also be proved even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में \(\sqrt{2}=a/b\) मानकर \(a\) और \(b\) को सहभाज्य लिया जाता है। समीकरण से पहले \(a\) के सम होने का निष्कर्ष मिलता है, फिर इसे वापस रखने पर \(b\) भी सम सिद्ध होता है। केवल \(a\) का सम होना सहभाज्य होने की शर्त का विरोधाभास नहीं है; दोनों के सम होने पर उनका 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा। परीक्षा टिप: प्रमाण में विरोधाभास वाला अंतिम निष्कर्ष अवश्य लिखें। / In the contradiction proof, we assume \(\sqrt{2}=a/b\), where \(a\) and \(b\) are coprime. The equation first shows that \(a\) is even; substituting this result back then shows that \(b\) is also even. Saying only that \(a\) is even does not contradict the coprime condition. The contradiction arises because both numbers would have 2 as a common factor. Exam tip: always state the final contradiction explicitly in a proof.
A. विरोधाभास के लिए (q) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/To get contradiction, (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) में (3) का गुणनखंड होना विरोधाभास नहीं देता। (p) और (q) दोनों में (3) होना जरूरी है। / Only (p) having factor (3) gives no contradiction. Both (p) and (q) must have factor (3).
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, \(\sqrt{3}=p/q\) मानते हैं, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में विरोधाभास उत्पन्न करता है?
B. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है/3 divides both \(p\) and \(q\)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में भिन्न को सबसे सरल रूप में अवश्य मानें। / Since \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), and as 3 is prime, \(3\mid p\). Writing \(p=3k\) gives \(3\mid q\) too. Thus \(p\) and \(q\) are not coprime. Exam tip: start with a fraction in lowest terms.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Common factor (3) in both contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
मान लें कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि प्रमाण में, यदि \(3\mid p^2\) हो, तो कौन-सा निष्कर्ष आवश्यक है?
3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से यूक्लिड उपपत्ति के अनुसार \(3\mid p\) मिलता है। \(q\) के बारे में निष्कर्ष बाद में \(p=3k\) रखने पर मिलता है। परीक्षा में यह अभाज्य-गुण स्पष्ट लिखें। / Since 3 is prime, Euclid’s lemma gives \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\). A conclusion about \(q\) follows only later after substituting \(p=3k\). In exams, state this prime-divisibility step clearly.
एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) माना, जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(a^2=3b^2\) से उसने निष्कर्ष निकाला कि 3, \(a\) को विभाजित करता है। इस निष्कर्ष को सही ठहराने वाला नियम कौन-सा है?
C. यदि अभाज्य संख्या \(p\mid n^2\), तो \(p\mid n\)/If a prime \(p\mid n^2\), then \(p\mid n\).
Explanation
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3 एक अभाज्य संख्या है और \(3\mid a^2=a\cdot a\) है। अभाज्य गुणनखंड नियम से \(3\mid a\) मिलता है। फिर \(a=3k\) रखने पर \(3\mid b\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-युक्ति: यह निष्कर्ष अभाज्य भाजक के लिए ही सीधे लगाएँ। / Since 3 is prime and \(3\mid a^2\), Euclid’s lemma gives \(3\mid a\). Writing \(a=3k\) then gives \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: apply this converse directly only when the divisor is prime.
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य होने पर (\gcd(p,q)\ge 3) होगा। / In lowest form, (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), (\gcd(p,q)\ge 3).
