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Suppose \\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\\), where \\(p\\) and \\(q\\) are coprime positive integers. Which conclusion from \\(p^2=3q^2\\) gives the contradiction needed to prove that \\(\sqrt{3}\\) is irrational?मान लें कि \\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\\), जहाँ \\(p\\) और \\(q\\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \\(p^2=3q^2\\) से कौन-सा निष्कर्ष वह विरोधाभास देता है जो \\(\sqrt{3}\\) को अपरिमेय सिद्ध करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both \\(p\\) and \\(q\\) are divisible by 3\\(p\\) और \\(q\\) दोनों 3 से विभाज्य हैं
From \\(p^2=3q^2\\), \\(3\\mid p^2\\); since 3 is prime, \\(3\\mid p\\). Put \\(p=3k\\) to get \\(q^2=3k^2\\), so \\(3\\mid q\\) too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.\\(p^2=3q^2\\) से \\(3\\mid p^2\\), इसलिए अभाज्य गुणनखंड नियम से \\(3\\mid p\\)। \\(p=3k\\) रखने पर \\(q^2=3k^2\\), अतः \\(3\\mid q\\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग में किसी अभाज्य का गुणनखंड होने पर वह संख्या में भी होता है।
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