If √2 = a/b is in lowest form, what does proving that both a and b are even show?यदि √2 = a/b सरलतम रूप में है, तो a और b दोनों के सम सिद्ध होने से क्या निष्कर्ष निकलता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The fraction cannot be in lowest formभिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती
The governing concept is proof by contradiction together with the meaning of lowest terms. Assume √2 = a/b, where a and b are integers, b is nonzero, and gcd(a,b)=1. Squaring gives a² = 2b². Thus a² is even, so a is even; write a=2k. Substitution gives 4k²=2b², hence b²=2k², so b is also even. Therefore 2 is a common factor of a and b, which contradicts gcd(a,b)=1. The fraction cannot therefore have been in lowest form, and the original rational assumption fails. Option A states this exact contradiction. The result does not imply that the denominator is zero, that √2 is an integer, or that a and b are equal.मुख्य अवधारणा विरोधाभास द्वारा प्रमाण और सरलतम रूप की परिभाषा है। मान लें कि √2=a/b है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, b≠0 है तथा gcd(a,b)=1 है। वर्ग करने पर a²=2b² मिलता है। इसलिए a² सम है और समता के नियम से a भी सम होगा; a=2k लिखें। रखने पर 4k²=2b², अर्थात् b²=2k² प्राप्त होता है, इसलिए b भी सम है। अब a और b दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो gcd(a,b)=1 की प्रारम्भिक शर्त का विरोध करता है। अतः भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती और √2 को परिमेय मानने की धारणा असम्भव सिद्ध होती है। इसलिए A सही है; इससे हर शून्य, √2 पूर्णांक या a=b सिद्ध नहीं होता।
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