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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 16

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को न्यूनतम रूप में माना जाए, तो \(p^2=3q^2\) से \(p\) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is in lowest terms. What conclusion about \(p\) follows from \(p^2=3q^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) 3 से विभाज्य है

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से स्पष्ट है कि \(p^2\), 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है तो 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग पर ध्यान दें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies divisibility of \(p\) by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-factor property for squares.

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Correct Answer: A. \(p\) 3 से विभाज्य है. Explanation: \(p^2=3q^2\) से स्पष्ट है कि \(p^2\), 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 अभाज्य है, इसलिए यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है तो 3, \(p\) को भी विभाजित करेगा। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के वर्ग पर ध्यान दें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies divisibility of \(p\) by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting lowest terms. Exam tip: use the prime-factor property for squares.