In the proof of \(\sqrt{3}\) being irrational, what is the best description of the role of \(3\)?\(\sqrt{3}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में \(3\) की भूमिका का सबसे अच्छा वर्णन कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(3\) acts as the prime that divides \(p^2\) and then must divide \(p\) and finally forces \(3\mid q\), contradicting \(\gcd(p,q)=1\).\(3\) एक अभाज्य की तरह काम करता है जो \(p^2\) को विभाजित करता है और फिर अवश्य \(p\) को भी विभाजित करता है, अंततः \(3\mid q\) कर देता है और \(\gcd(p,q)=1\) का विरोधाभास बनता है।
After assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) with \(\gcd(p,q)=1\) and squaring, we get \(3q^2=p^2\). Here \(3\) is the key prime. Since \(3\mid 3q^2\), it follows that \(3\mid p^2\). Using the divisibility principle for primes, \(3\mid p\), so let \(p=3k\). Substituting back gives \(3q^2=9k^2\Rightarrow q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\). Then both \(p\) and \(q\) are divisible by \(3\), so \(\gcd(p,q)\neq1\), a contradiction. Thus \(3\) is used as the prime driving the divisibility chain, exactly as stated in option A.जब हम मान लेते हैं \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और \(\gcd(p,q)=1\) लेते हैं, तो वर्ग करने पर \(3q^2=p^2\) मिलता है। यहाँ \(3\) मुख्य अभाज्य है। चूँकि \(3\mid 3q^2\), इसलिए \(3\mid p^2\) होता है। अभाज्य संख्याओं के लिए विभाज्यता सिद्धांत से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकलता है, इसलिए \(p=3k\) मानते हैं। वापस रखने पर \(3q^2=9k^2\Rightarrow q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\)। तब \(p\) और \(q\) दोनों \(3\) से विभाज्य होते हैं, जिससे \(\gcd(p,q)\neq1\) हो जाता है, जो विरोधाभास है। इसलिए \(3\) विभाज्यता की श्रृंखला चलाने वाला अभाज्य है—जैसा विकल्प A में कहा गया है।
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