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A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a,b\) are coprime positive integers. From \(a^2=3b^2\), the student concludes that 3 divides \(a\). Which rule justifies this conclusion?एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) माना, जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(a^2=3b^2\) से उसने निष्कर्ष निकाला कि 3, \(a\) को विभाजित करता है। इस निष्कर्ष को सही ठहराने वाला नियम कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If a prime \(p\mid n^2\), then \(p\mid n\).यदि अभाज्य संख्या \(p\mid n^2\), तो \(p\mid n\)
Since 3 is prime and \(3\mid a^2\), Euclid’s lemma gives \(3\mid a\). Writing \(a=3k\) then gives \(3\mid b\), contradicting coprimality. Exam tip: apply this converse directly only when the divisor is prime.3 एक अभाज्य संख्या है और \(3\mid a^2=a\cdot a\) है। अभाज्य गुणनखंड नियम से \(3\mid a\) मिलता है। फिर \(a=3k\) रखने पर \(3\mid b\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा-युक्ति: यह निष्कर्ष अभाज्य भाजक के लिए ही सीधे लगाएँ।
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