In the proof of √2, why is assuming a and b coprime more than a formality?√2 के प्रमाण में a और b को सहभाज्य मानना केवल औपचारिकता नहीं है, क्योंकि इससे क्या सिद्ध होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It gives a genuine contradiction when both become evenदोनों सम निकलने पर वास्तविक विरोधाभास मिलता है
A rational number can be represented by many equivalent fractions, so merely writing √2=a/b is not enough for a contradiction. We choose the representation in lowest terms, meaning gcd(a,b)=1. From a²=2b², parity arguments show that a is even and then b is even. This conclusion means that 2 divides both numbers, so their greatest common divisor is at least 2. That directly conflicts with gcd(a,b)=1, producing the genuine contradiction required by the proof. Hence option A is correct. Without the coprime assumption, a pair such as 2/4 could be even in both entries without contradiction because it was not reduced. The other options do not follow from the equations.किसी परिमेय संख्या को अनेक समतुल्य भिन्नों में लिखा जा सकता है, इसलिए केवल √2=a/b लिख देना विरोधाभास के लिए पर्याप्त नहीं है। भिन्न को सरलतम रूप में चुनने का अर्थ है कि gcd(a,b)=1 हो। समीकरण a²=2b² से समता के नियम द्वारा पहले a सम और फिर b सम सिद्ध होता है। तब 2 दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड बन जाता है और gcd(a,b) कम-से-कम 2 होना चाहिए। यह प्रारम्भिक शर्त gcd(a,b)=1 से सीधा विरोधाभास है। इसलिए विकल्प A सही है। यदि सहभाज्य की शर्त न हो, तो 2/4 जैसे भिन्न में अंश और हर दोनों सम होने पर भी कोई विरोधाभास नहीं होगा, क्योंकि भिन्न पहले से सरलतम रूप में नहीं है। अन्य विकल्प समीकरण से सिद्ध नहीं होते।
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