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While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where \(a\) and \(b\) are coprime integers. Which conclusion creates a contradiction to the initial assumption?विरोधाभास विधि से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष प्रारम्भिक मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं।\(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं।
From \(a^2=3b^2\), \(a^2\), and hence \(a\), is divisible by 3. Putting \(a=3k\) gives \(b^2=3k^2\), so \(b\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: state the common factor explicitly.\(a^2=3b^2\) से \(a^2\), अतः \(a\), 3 से विभाज्य होता है। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(b\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में दोनों पदों का समान गुणनखंड अवश्य लिखें।
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