Which option gives the most correct full logical chain in the proof of \(\sqrt{2}\)?किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) के प्रमाण की पूरी तार्किक श्रृंखला सबसे सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: मान लें \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य हैं \(\rightarrow a^2=2b^2\rightarrow a\) सम \(\rightarrow b\) सम \(\rightarrow\) सह-अभाज्य होने के विरुद्धमान लें \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a,b\) सह-अभाज्य हैं \(\rightarrow a^2=2b^2\rightarrow a\) सम \(\rightarrow b\) सम \(\rightarrow\) सह-अभाज्य होने के विरुद्ध
Option A contains every essential step of the proof by contradiction. Assume \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) in lowest terms. Then \(a^2=2b^2\), so \(a^2\), and hence \(a\), is even. Writing \(a=2k\) gives \(b^2=2k^2\), so \(b\) is also even. Thus both \(a\) and \(b\) are divisible by 2, contradicting that they are coprime. Option D is wrong because an infinite decimal alone does not prove irrationality; rational numbers may have infinite recurring decimals. Exam tip: always begin this proof by taking the fraction in lowest terms.विकल्प A में विरोधाभास विधि की आवश्यक पूरी श्रृंखला है। \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(a^2=2b^2\) मिलता है। इससे \(a^2\), और इसलिए \(a\), सम होता है। \(a=2k\) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, अतः \(b\) भी सम है। तब \(a\) और \(b\) दोनों 2 से विभाज्य हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल अनंत दशमलव प्रसार होने से कोई संख्या अपरिमेय नहीं होती; परिमेय संख्याओं के दशमलव भी अनंत आवर्ती हो सकते हैं। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को हमेशा सह-अभाज्य रूप में मानें।
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