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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 16

यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2r) है, तो \(b^2=2r^2\) से (a) और (b) के बारे में संयुक्त निष्कर्ष क्या है?

If \(a^2=2b^2\) and (a=2r), what combined conclusion about (a) and (b) follows from \(b^2=2r^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. दोनों सम हैंBoth are even

Explanation

Simple Explanation

a=2r से स्पष्ट है कि a, 2 का गुणज है, इसलिए a सम है। b-2=2r-2 से b-2 सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; अतः b सम है। इसलिए a और b दोनों सम हैं। “दोनों शून्य हैं” आवश्यक नहीं है, क्योंकि सम संख्याएँ शून्य के अतिरिक्त भी हो सकती हैं। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के प्रमाण में यही निष्कर्ष a और b के सह-अभाज्य होने की धारणा से विरोधाभास उत्पन्न करता है। / From a=2r, a is a multiple of 2, so a is even. From b-2=2r-2, b-2 is even. If the square of an integer is even, then the integer itself must be even; hence b is even. Therefore, both a and b are even. They need not both be zero, since non-zero even integers are also possible. Exam tip: In the irrationality proof, this result contradicts the assumption that a and b are coprime.

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यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2r) है, तो \(b^2=2r^2\) से (a) और (b) के बारे में संयुक्त निष्कर्ष क्या है? / If \(a^2=2b^2\) and (a=2r), what combined conclusion about (a) and (b) follows from \(b^2=2r^2\)?

Correct Answer: A. दोनों सम हैं / Both are even. Explanation: a=2r से स्पष्ट है कि a, 2 का गुणज है, इसलिए a सम है। b-2=2r-2 से b-2 सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; अतः b सम है। इसलिए a और b दोनों सम हैं। “दोनों शून्य हैं” आवश्यक नहीं है, क्योंकि सम संख्याएँ शून्य के अतिरिक्त भी हो सकती हैं। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के प्रमाण में यही निष्कर्ष a और b के सह-अभाज्य होने की धारणा से विरोधाभास उत्पन्न करता है। / From a=2r, a is a multiple of 2, so a is even. From b-2=2r-2, b-2 is even. If the square of an integer is even, then the integer itself must be even; hence b is even. Therefore, both a and b are even. They need not both be zero, since non-zero even integers are also possible. Exam tip: In the irrationality proof, this result contradicts the assumption that a and b are coprime.