Which statement is sufficient to reject the rational assumption in the proof of (√3)?(√3) के प्रमाण में कौन-सा कथन परिमेय मान्यता को अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both p and q in lowest form turn out to be divisible by 3सरलतम रूप में लिखे p और q दोनों 3 से विभाज्य निकलते हैं
The governing concept is proof by contradiction together with the lowest-form condition for a rational number. Assume √3 = p/q, where p and q are integers, q ≠ 0, and gcd(p,q) = 1. Squaring gives p² = 3q². From this equation, 3 divides p, so p = 3k; substitution then shows that 3 also divides q. Thus p and q have a common factor 3, contradicting gcd(p,q) = 1. Therefore the rational assumption must be rejected. Option A is incomplete because divisibility of p alone does not contradict lowest form; options C and D do not produce the required contradiction.यहाँ मुख्य अवधारणा विरोधाभास द्वारा प्रमाण और भिन्न को सरलतम रूप में लिखने की शर्त है। मान लें कि √3 = p/q है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0 तथा gcd(p,q) = 1 है। वर्ग करने पर p² = 3q² मिलता है। इससे 3, p को विभाजित करता है, इसलिए p = 3k लिख सकते हैं। इसे मूल समीकरण में रखने पर q² भी 3 से विभाज्य होता है और इसलिए q भी 3 से विभाज्य है। अब p और q दोनों का 3 से विभाज्य होना gcd(p,q) = 1 के विपरीत है। अतः प्रारम्भिक परिमेय मान्यता अस्वीकार करनी होगी। केवल p का विभाज्य होना पर्याप्त नहीं है, जबकि p² की बात और √3 का धनात्मक होना विरोधाभास उत्पन्न नहीं करते।
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