Which option correctly distinguishes (q\neq0) and the coprime condition in the proof of (\sqrt{3})?किस विकल्प में (\sqrt{3}) के प्रमाण में (q\neq0) और सहभाज्य शर्त का सही अंतर बताया गया है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (q\neq0) keeps the fraction defined, the coprime condition gives contradiction(q\neq0) भिन्न को परिभाषित रखता है, सहभाज्य शर्त विरोधाभास देती है
The direct answer is A. In proving csqrt{3}c irrational, we first suppose csqrt{3}=p/qc, where p and q are integers, q is not zero, and p/q is in lowest terms. The condition cq\neq0c is needed simply because division by zero is undefined; it allows p/q to be a valid fraction. After squaring, cp^2=3q^2c, and divisibility reasoning shows that 3 divides p. Writing cp=3rc and substituting then shows that 3 also divides q. Thus p and q have a common factor 3, contradicting the coprime condition. Option A is correct because it distinguishes the definition condition from the contradiction-producing lowest-terms condition. Option B is wrong: q being non-zero alone does not prove cp=3kc. Option C reverses the result; coprimality does not give q=0. Option D is wrong because the two conditions serve different purposes. Memory cue: non-zero denominator makes the fraction legal; coprime numerator and denominator make the contradiction possible.सीधा उत्तर A है। csqrt{3} की अपरिमेयता सिद्ध करते समय पहले csqrt{3}=p/qc मानते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, cq\neq0c है और p तथा q सहभाज्य हैं, अर्थात उनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। cq\neq0c की शर्त केवल इसलिए चाहिए क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं होता; इससे p/q एक वैध भिन्न रहता है। वर्ग करने पर cp^2=3q^2c मिलता है और विभाज्यता से 3, p को विभाजित करता है। p=3r लिखकर रखने पर पता चलता है कि 3, q को भी विभाजित करता है। इसलिए p और q में 3 उभयनिष्ठ गुणनखंड हो जाता है, जो सहभाज्य होने की प्रारंभिक शर्त का विरोधाभास है। विकल्प A सही है क्योंकि वह दोनों शर्तों का अलग-अलग काम बताता है। विकल्प B गलत है; केवल q के शून्य न होने से p=3k तुरंत नहीं मिलता। विकल्प C उलटा निष्कर्ष है; सहभाज्य होने से q=0 नहीं मिलता। विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों शर्तों के उद्देश्य अलग हैं। याद रखें: हर का शून्य न होना भिन्न को वैध बनाता है, और सहभाज्य शर्त विरोधाभास तक पहुँचाती है।
Student feedback
Was this question useful?
👍 0 Helpful 👎 0 Not helpful
Yes 0% No 0%
0 responsesStudent Reviews
No published reviews yet.
