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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 17

यदि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा \(p^2=3q^2\), तो कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से निकलता है?

If \(p\) and \(q\) are coprime integers and \(p^2=3q^2\), which conclusion necessarily follows?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं।Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। मान लें \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है और इसी विरोधाभास से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध होती है। विकल्प B अधूरा है, क्योंकि \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होना ही पड़ता है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must also be divisible by 3. Let \(p=3k\). Then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts the fact that \(p\) and \(q\) are coprime, and this contradiction is used to prove that \(\sqrt{3}\) is irrational. Option B is incomplete because once \(p\) is divisible by 3, \(q\) must be divisible by 3 as well. Exam tip: If a prime divides a square, it also divides the original number.

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Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं। / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। मान लें \(p=3k\)। तब \(9k^2=3q^2\), अर्थात \(q^2=3k^2\); इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है और इसी विरोधाभास से \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध होती है। विकल्प B अधूरा है, क्योंकि \(p\) के 3 से विभाज्य होने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य होना ही पड़ता है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, \(p\) must also be divisible by 3. Let \(p=3k\). Then \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\); hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts the fact that \(p\) and \(q\) are coprime, and this contradiction is used to prove that \(\sqrt{3}\) is irrational. Option B is incomplete because once \(p\) is divisible by 3, \(q\) must be divisible by 3 as well. Exam tip: If a prime divides a square, it also divides the original number.