Which option shows a wrong shortcut in the proof of √3?किस विकल्प में √3 के प्रमाण में की गई गलत जल्दबाजी दिखाई गई है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Directly writing a = 3b from a² = 3b²a² = 3b² से सीधे a = 3b लिखना
The governing concepts are valid algebraic substitution and the prime-divisibility property of squares. From a²=3b², the right side is a multiple of 3, so a² is divisible by 3; A is valid. Since 3 is prime, 3 dividing a² implies 3 divides a, so B is also valid. Writing a=3r and substituting gives 9r²=3b², and division by 3 gives b²=3r²; therefore C is valid as well. However, a²=3b² does not imply a=3b. If a=3b, then squaring would produce a²=9b², which is different from 3b². Thus D is the wrong shortcut. It replaces a justified divisibility conclusion with an unsupported equality.यहाँ सही बीजीय प्रतिस्थापन और वर्ग के अभाज्य-विभाज्यता नियम दोनों आवश्यक हैं। a²=3b² से दायाँ पक्ष 3 का गुणज है, इसलिए a², 3 से विभाज्य है; अतः A सही है। क्योंकि 3 अभाज्य है, 3 ∣ a² से 3 ∣ a निष्कर्षित होता है, इसलिए B भी वैध है। a=3r रखने पर 9r²=3b² मिलता है और 3 से भाग देने पर b²=3r² प्राप्त होता है; इसलिए C भी सही है। लेकिन a²=3b² से सीधे a=3b नहीं लिखा जा सकता। यदि a=3b होता, तो वर्ग करने पर a²=9b² मिलता, जबकि दिए गए समीकरण में 3b² है। इसलिए D गलत जल्दबाजी है, क्योंकि वह प्रमाणित निष्कर्ष के स्थान पर बिना आधार की समानता रखता है।
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