What is the basis of 3 ∣ a² ⇒ 3 ∣ a in the proof of √3?√3 के प्रमाण में 3 ∣ a² ⇒ 3 ∣ a का आधार क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3 is prime3 अभाज्य संख्या है
The basis is the prime-divisor property: if a prime p divides x², then p divides x. Here p = 3, so 3 ∣ a² implies 3 ∣ a. This can be seen from prime factorisation. If 3 did not divide a, then no factor 3 would occur in the factorisation of a, and consequently no factor 3 could occur in a², contradicting 3 ∣ a². In the √3 proof, this result permits writing a = 3r; substitution then leads to b² = 3r² and eventually proves 3 ∣ b. Thus the primality of 3 is essential. Options B, C, and D are not assumptions of the proof and do not justify the implication.इसका आधार अभाज्य भाजक का नियम है: यदि कोई अभाज्य संख्या p, x² को विभाजित करती है, तो p, x को भी विभाजित करती है। यहाँ p = 3 और x = a है, इसलिए 3 ∣ a² से 3 ∣ a मिलता है। अभाज्य गुणनखंडन से समझें कि यदि 3, a को विभाजित न करता, तो a के गुणनखंडन में 3 उपस्थित नहीं होता और इसलिए a² में भी 3 का गुणनखंड नहीं आ सकता था। यह 3 ∣ a² के विपरीत होता। √3 के प्रमाण में इसी से a = 3r रखा जाता है और आगे b भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है। इसलिए 3 का अभाज्य होना आवश्यक है। B, C और D प्रमाण की मान्य धारणाएँ नहीं हैं।
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