prime factor property se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
एक विद्यार्थी विरोधाभास विधि में
\(\sqrt{3}=p/q\) मानता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त होने पर \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कथन सही तर्क देता है?
A. यदि अभाज्य संख्या 3, \(p^2\) को विभाजित करती है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।/If the prime number 3 divides \(p^2\), then it also divides \(p\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(3\mid p\)। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य संख्या वाला नियम स्पष्ट लिखें। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, the prime-factor property gives \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows \(3\mid q\), contradicting coprimality. In exams, state the prime-factor property explicitly.
अभाज्य गुणनखंड के नियम के अनुसार, यदि अभाज्य संख्या 3, p² को विभाजित करती है, तो 3, p को भी विभाजित करेगी। √3 के प्रमाण में p² = 3q² से यही निष्कर्ष मिलता है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के लिए यह नियम वर्ग पर भी लागू होता है। / By the prime-factor property, if the prime 3 divides p², then 3 must divide p. In the proof for √3, this follows from p² = 3q². Exam tip: remember that a prime divisor of a square is also a divisor of its base.
