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In a proof by contradiction, a student assumes \(\sqrt{3}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. After obtaining \(p^2=3q^2\), which statement correctly justifies the conclusion \(3\mid p\)?एक विद्यार्थी विरोधाभास विधि में
\(\sqrt{3}=p/q\) मानता है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त होने पर \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए कौन-सा कथन सही तर्क देता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If the prime number 3 divides \(p^2\), then it also divides \(p\).यदि अभाज्य संख्या 3, \(p^2\) को विभाजित करती है, तो वह \(p\) को भी विभाजित करती है।
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\). Since 3 is prime, the prime-factor property gives \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows \(3\mid q\), contradicting coprimality. In exams, state the prime-factor property explicitly.\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। 3 अभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड के नियम से \(3\mid p\)। फिर \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य संख्या वाला नियम स्पष्ट लिखें।
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