Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(m^2\) सम है इसलिए (m) सम है/\(m^2\) is even so (m) is even
Step 1
Concept
The right side has factor (2) so \(m^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2\) सम है इसलिए (m) सम है / \(m^2\) is even so (m) is even. The right side has factor (2) so \(m^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
Step 3
Exam Tip
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(m^2\) सम है। वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है।
B. ताकि (p) और (q) सहभाज्य हों/So that (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. Later both becoming divisible by (3) gives the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ताकि (p) और (q) सहभाज्य हों / So that (p) and (q) are coprime. In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. Later both becoming divisible by (3) gives the contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है।
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction method, the opposite of the statement is assumed first. So \(\sqrt{2}\) is assumed rational to get a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. In contradiction method, the opposite of the statement is assumed first. So \(\sqrt{2}\) is assumed rational to get a contradiction.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास विधि में पहले कथन के विपरीत मानते हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है।
D. क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p) (3) से विभाज्य है/Because \(p^2\) is divisible by (3), so (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If prime (3) divides the square, it also divides the number. Therefore (p) is written as (3k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p) (3) से विभाज्य है / Because \(p^2\) is divisible by (3), so (p) is divisible by (3). If prime (3) divides the square, it also divides the number. Therefore (p) is written as (3k).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) को (3k) लिखा जाता है।
\(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This gives common factor (3) in both (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3). \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This gives common factor (3) in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। इससे (p) और (q) दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) आता है।
A. \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकता/\(\frac{m}{n}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are even, common factor (2) exists. This cannot happen in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकता / \(\frac{m}{n}\) cannot be in lowest form. If both are even, common factor (2) exists. This cannot happen in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होता है। सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता।
C. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों तब भी वे सहभाज्य हैं/Even if both (p) and (q) are divisible by (3), they are coprime
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), they cannot be coprime. That statement is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों तब भी वे सहभाज्य हैं / Even if both (p) and (q) are divisible by (3), they are coprime. If both are divisible by (3), they cannot be coprime. That statement is wrong.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। यह कथन गलत है।
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), (q) is also divisible by (3). Both (p) and (q) divisible by (3) contradicts the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. From \(q^2=3k^2\), (q) is also divisible by (3). Both (p) and (q) divisible by (3) contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
\(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है। (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. \(m^2=2n^2\), (m) सम, (m=2r), (n) सम/\(m^2=2n^2\), (m) even, (m=2r), (n) even
Step 1
Concept
For \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This makes both even and gives contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2=2n^2\), (m) सम, (m=2r), (n) सम / \(m^2=2n^2\), (m) even, (m=2r), (n) even. For \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This makes both even and gives contradiction.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में (2) से समता की श्रृंखला चलती है। यही दोनों को सम बनाकर विरोधाभास देती है।
C. \(p^2=3q^2\), (p) (3) से विभाज्य, (p=3k), (q) (3) से विभाज्य/\(p^2=3q^2\), (p) divisible by (3), (p=3k), (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows common factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(p^2=3q^2\), (p) (3) से विभाज्य, (p=3k), (q) (3) से विभाज्य / \(p^2=3q^2\), (p) divisible by (3), (p=3k), (q) divisible by (3). For \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। यह दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) दिखाती है।
B. यह सरलतम रूप की शर्त से विरोधाभास है/This contradicts the condition of lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, there should be no common factor. If both are even, (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह सरलतम रूप की शर्त से विरोधाभास है / This contradicts the condition of lowest form. In lowest form, there should be no common factor. If both are even, (2) is common.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। दोनों सम होने पर (2) सामान्य है।
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती/The fraction cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं रह सकती / The fraction cannot remain in lowest form. Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\)/(m,n) coprime and \(n\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written in lowest fraction. The denominator is non-zero and numerator-denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\) / (m,n) coprime and \(n\neq0\). A rational number is written in lowest fraction. The denominator is non-zero and numerator-denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। हर शून्य नहीं होता और अंश-हर सहभाज्य होते हैं।
B. (p) और (q) सहभाज्य हैं और \(q\neq0\)/(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
The rational form is taken in lowest form. So (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (p) और (q) सहभाज्य हैं और \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\). The rational form is taken in lowest form. So (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय रूप को सरलतम रूप में लिया जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य तथा \(q\neq0\) होते हैं।
A. यदि \(m^2\) सम है तो (m) सम है/If \(m^2\) is even then (m) is even
Step 1
Concept
The square of an odd integer is odd. Therefore if the square is even, the integer is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि \(m^2\) सम है तो (m) सम है / If \(m^2\) is even then (m) is even. The square of an odd integer is odd. Therefore if the square is even, the integer is even.
Step 3
Exam Tip
विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। इसलिए वर्ग सम होने पर पूर्णांक सम होगा।
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
Prime factor (3) appears in the square only if it appears in the number. Therefore (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3). Prime factor (3) appears in the square only if it appears in the number. Therefore (p) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है।
A. परिमेय मान्यता से (m) और (n) दोनों सम निकलते हैं/Rational assumption makes both (m) and (n) even
Step 1
Concept
Both being even contradicts the coprime condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता से (m) और (n) दोनों सम निकलते हैं / Rational assumption makes both (m) and (n) even. Both being even contradicts the coprime condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / Rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). Both being divisible by (3) breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता।
B. यह अधूरा है क्योंकि पहले (m) सम सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (m) must be proved even first
Step 1
Concept
From \(m^2=2n^2\), first \(m^2\) and then (m) are even. Only after taking (m=2r), (n) is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह अधूरा है क्योंकि पहले (m) सम सिद्ध करना होगा / It is incomplete because (m) must be proved even first. From \(m^2=2n^2\), first \(m^2\) and then (m) are even. Only after taking (m=2r), (n) is proved even.
Step 3
Exam Tip
\(m^2=2n^2\) से पहले \(m^2\) सम और फिर (m) सम मिलता है। (m=2r) रखने के बाद ही (n) सम सिद्ध होता है।
A. यह अधूरा है क्योंकि पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (p) must be proved divisible by (3) first
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह अधूरा है क्योंकि पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करना होगा / It is incomplete because (p) must be proved divisible by (3) first. First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
Step 3
Exam Tip
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) के लिए निष्कर्ष आता है।
A. दोनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न ली जाती है/In both, a lowest fraction is taken after assuming rationality
Step 1
Concept
Both proofs start with contradiction method. A coprime fraction is assumed rational and leads to contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न ली जाती है / In both, a lowest fraction is taken after assuming rationality. Both proofs start with contradiction method. A coprime fraction is assumed rational and leads to contradiction.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि से शुरू होते हैं। परिमेय मानकर सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास मिलता है।
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता आती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is central and in the proof of \(\sqrt{3}\), (3) is central. This is the key difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता आती है / \(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3). In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is central and in the proof of \(\sqrt{3}\), (3) is central. This is the key difference.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) मुख्य है और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) मुख्य है। यही मूल अंतर है।
A. दोनों का (2) से विभाज्य होना/Both being divisible by (2)
Step 1
Concept
A common factor (2) is found in both. Therefore they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों का (2) से विभाज्य होना / Both being divisible by (2). A common factor (2) is found in both. Therefore they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड मिल जाता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
B. दोनों का (3) से विभाज्य होना/Both being divisible by (3)
Step 1
Concept
A common factor (3) is found in both. This breaks the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों का (3) से विभाज्य होना / Both being divisible by (3). A common factor (3) is found in both. This breaks the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड मिलता है। यह सहभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है।
The correct answer is A. यदि \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) तो \(m^2=2n^2\) / If \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), then \(m^2=2n^2\). Squaring gives \(2=\frac{m^2}{n^2}\). Hence \(m^2=2n^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने पर \(2=\frac{m^2}{n^2}\) मिलता है। इससे \(m^2=2n^2\) बनता है।
B. यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) तो \(p^2=3q^2\)/If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
Squaring gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\). Therefore \(p^2=3q^2\) is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) तो \(p^2=3q^2\) / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\). Squaring gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\). Therefore \(p^2=3q^2\) is correct.
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। इसलिए \(p^2=3q^2\) सही है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
A contradiction proves the assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is not rational but irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. A contradiction proves the assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is not rational but irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास मान्यता को गलत सिद्ध करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं बल्कि अपरिमेय है।
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
Breaking the coprime condition is a contradiction to the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. Breaking the coprime condition is a contradiction to the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त टूटना परिमेय मान्यता से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. क्योंकि हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती/Because a fraction is undefined when denominator is zero
Step 1
Concept
In rational form \(\frac{m}{n}\), denominator cannot be zero. This is a basic fraction rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती / Because a fraction is undefined when denominator is zero. In rational form \(\frac{m}{n}\), denominator cannot be zero. This is a basic fraction rule.
Step 3
Exam Tip
परिमेय रूप \(\frac{m}{n}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। यह मूल भिन्न नियम है।
A. यह भिन्न \(\frac{p}{q}\) को परिभाषित रखता है/It keeps the fraction \(\frac{p}{q}\) defined
Step 1
Concept
If (q=0), \(\frac{p}{q}\) is undefined. Therefore \(q\neq0\) is necessary in rational form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह भिन्न \(\frac{p}{q}\) को परिभाषित रखता है / It keeps the fraction \(\frac{p}{q}\) defined. If (q=0), \(\frac{p}{q}\) is undefined. Therefore \(q\neq0\) is necessary in rational form.
Step 3
Exam Tip
यदि (q=0) हो तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं है। इसलिए परिमेय रूप में \(q\neq0\) जरूरी है।
C. \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\) मानना/Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\)
Step 1
Concept
A fraction is undefined if the denominator is zero. Therefore \(\frac{m}{0}\) is a wrong start.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\) मानना / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\). A fraction is undefined if the denominator is zero. Therefore \(\frac{m}{0}\) is a wrong start.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती। इसलिए \(\frac{m}{0}\) गलत शुरुआत है।
C. \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\)
Step 1
Concept
\(\frac{p}{0}\) is not defined. In rational form, the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\). \(\frac{p}{0}\) is not defined. In rational form, the denominator cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{p}{0}\) परिभाषित नहीं होता। परिमेय रूप में हर शून्य नहीं हो सकता।
A. \(m^2=2n^2\) और \(m^2\) सम है/\(m^2=2n^2\) and \(m^2\) is even
Step 1
Concept
From \(m^2=2n^2\), \(m^2\) is even. Therefore (m) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2=2n^2\) और \(m^2\) सम है / \(m^2=2n^2\) and \(m^2\) is even. From \(m^2=2n^2\), \(m^2\) is even. Therefore (m) is also even.
Step 3
Exam Tip
\(m^2=2n^2\) से \(m^2\) सम है। इसलिए (m) भी सम होगा।
C. \(p^2=3q^2\) और \(p^2\) (3) से विभाज्य है/\(p^2=3q^2\) and \(p^2\) is divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3). Therefore (p) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(p^2=3q^2\) और \(p^2\) (3) से विभाज्य है / \(p^2=3q^2\) and \(p^2\) is divisible by (3). From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3). Therefore (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा।
B. महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा/Highest common factor will be at least (2)
Step 1
Concept
If both are even, both are divisible by (2). So the highest common factor cannot be (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा / Highest common factor will be at least (2). If both are even, both are divisible by (2). So the highest common factor cannot be (1).
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर दोनों (2) से विभाज्य हैं। इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) नहीं हो सकता।
A. \(m^2\) विषम होना चाहिए लेकिन समीकरण से सम मिलता है/\(m^2\) should be odd but the equation gives even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(m^2=2n^2\) makes \(m^2\) even, so (m) cannot be odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2\) विषम होना चाहिए लेकिन समीकरण से सम मिलता है / \(m^2\) should be odd but the equation gives even. The square of an odd number is odd. But \(m^2=2n^2\) makes \(m^2\) even, so (m) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(m^2=2n^2\) से \(m^2\) सम है, इसलिए (m) विषम नहीं हो सकता।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए लेकिन समीकरण से विभाज्य है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Step 1
Concept
If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए लेकिन समीकरण से विभाज्य है / \(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible. If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(p^2=3q^2\) उसे (3) से विभाज्य दिखाता है।
B. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore our rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
When contradiction is found, the initial rational assumption is false. So the final conclusion is irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Therefore our rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. When contradiction is found, the initial rational assumption is false. So the final conclusion is irrationality.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत होती है। इसलिए अंतिम निष्कर्ष अपरिमेयता है।
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational. The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। यह विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. विरोधाभास विधि क्योंकि परिमेय मान्यता से असंभव स्थिति मिलती है/Contradiction method because rational assumption gives an impossible situation
Step 1
Concept
In both proofs, the opposite is assumed and contradiction with coprime condition is derived. Hence contradiction method is correct.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. विरोधाभास विधि क्योंकि परिमेय मान्यता से असंभव स्थिति मिलती है / Contradiction method because rational assumption gives an impossible situation. In both proofs, the opposite is assumed and contradiction with coprime condition is derived. Hence contradiction method is correct.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों में उल्टा मानकर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास निकाला जाता है। इसलिए विरोधाभास विधि सही है।
A. सरलतम रूप में सहभाज्य अंश-हर वाला/In lowest form with coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
A rational number can be written in lowest fractional form. This assumption is later contradicted.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम रूप में सहभाज्य अंश-हर वाला / In lowest form with coprime numerator and denominator. A rational number can be written in lowest fractional form. This assumption is later contradicted.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। यही मान्यता बाद में टूटती है।
A. (p) और (q) दोनों का (3) से विभाज्य होना/Both (p) and (q) being divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form (p) and (q) are coprime. If both are divisible by (3), this is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों का (3) से विभाज्य होना / Both (p) and (q) being divisible by (3). In lowest form (p) and (q) are coprime. If both are divisible by (3), this is impossible.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह संभव नहीं है।
Putting (m=2r) gives \(n^2=2r^2\). This makes (n) even too and creates the contradiction of both even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (n) भी सम निकलता है / (n) also becomes even. Putting (m=2r) gives \(n^2=2r^2\). This makes (n) even too and creates the contradiction of both even.
Step 3
Exam Tip
(m=2r) रखने से \(n^2=2r^2\) मिलता है। इससे (n) भी सम होता है और दोनों सम का विरोधाभास बनता है।
A. (q) भी (3) से विभाज्य निकलता है/(q) also becomes divisible by (3)
Step 1
Concept
Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\). This makes (q) also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (q) भी (3) से विभाज्य निकलता है / (q) also becomes divisible by (3). Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\). This makes (q) also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य होता है।
A. वर्ग सम हो तो संख्या सम होती है/If the square is even, the number is even
Step 1
Concept
This rule is used to prove (m) even from \(m^2\). Write it clearly in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वर्ग सम हो तो संख्या सम होती है / If the square is even, the number is even. This rule is used to prove (m) even from \(m^2\). Write it clearly in the proof.
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(m^2\) से (m) सम सिद्ध करने में काम आता है। इसे प्रमाण में स्पष्ट लिखें।
A. यदि (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है/If (3) divides the square, it also divides the number
Step 1
Concept
Since (3) is prime, this rule applies. It shows (p) and later (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है / If (3) divides the square, it also divides the number. Since (3) is prime, this rule applies. It shows (p) and later (q) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(3) अभाज्य है इसलिए यह नियम लागू होता है। इसी से (p) और बाद में (q) (3) से विभाज्य मिलते हैं।
A. दोनों को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है इसलिए दोनों अपरिमेय हैं/Assuming either rational gives contradiction, so both are irrational
Step 1
Concept
In both proofs, the rational assumption clashes with the coprime condition. Therefore both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है इसलिए दोनों अपरिमेय हैं / Assuming either rational gives contradiction, so both are irrational. In both proofs, the rational assumption clashes with the coprime condition. Therefore both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं।
