Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(m^2\) सम है इसलिए (m) सम है/\(m^2\) is even so (m) is even
Explanation
Simple Explanation
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(m^2\) सम है। वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है। / The right side has factor (2) so \(m^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
B. ताकि (p) और (q) सहभाज्य हों/So that (p) and (q) are coprime
Explanation
Simple Explanation
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. Later both becoming divisible by (3) gives the contradiction.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले कथन के विपरीत मानते हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / In contradiction method, the opposite of the statement is assumed first. So \(\sqrt{2}\) is assumed rational to get a contradiction.
D. क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p) (3) से विभाज्य है/Because \(p^2\) is divisible by (3), so (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) को (3k) लिखा जाता है। / If prime (3) divides the square, it also divides the number. Therefore (p) is written as (3k).
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। इससे (p) और (q) दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) आता है। / \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This gives common factor (3) in both (p) and (q).
A. \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकता/\(\frac{m}{n}\) cannot be in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होता है। सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता। / If both are even, common factor (2) exists. This cannot happen in lowest form.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है। (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / From \(q^2=3k^2\), (q) is also divisible by (3). Both (p) and (q) divisible by (3) contradicts the coprime condition.
A. \(m^2=2n^2\), (m) सम, (m=2r), (n) सम/\(m^2=2n^2\), (m) even, (m=2r), (n) even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) से समता की श्रृंखला चलती है। यही दोनों को सम बनाकर विरोधाभास देती है। / For \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This makes both even and gives contradiction.
C. \(p^2=3q^2\), (p) (3) से विभाज्य, (p=3k), (q) (3) से विभाज्य/\(p^2=3q^2\), (p) divisible by (3), (p=3k), (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। यह दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) दिखाती है। / For \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows common factor (3) in both.
B. यह सरलतम रूप की शर्त से विरोधाभास है/This contradicts the condition of lowest form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। दोनों सम होने पर (2) सामान्य है। / In lowest form, there should be no common factor. If both are even, (2) is common.
A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\)/(m,n) coprime and \(n\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। हर शून्य नहीं होता और अंश-हर सहभाज्य होते हैं। / A rational number is written in lowest fraction. The denominator is non-zero and numerator-denominator are coprime.
B. (p) और (q) सहभाज्य हैं और \(q\neq0\)/(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय रूप को सरलतम रूप में लिया जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य तथा \(q\neq0\) होते हैं। / The rational form is taken in lowest form. So (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\).
A. यदि \(m^2\) सम है तो (m) सम है/If \(m^2\) is even then (m) is even
Explanation
Simple Explanation
विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। इसलिए वर्ग सम होने पर पूर्णांक सम होगा। / The square of an odd integer is odd. Therefore if the square is even, the integer is even.
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / Prime factor (3) appears in the square only if it appears in the number. Therefore (p) is divisible by (3).
A. परिमेय मान्यता से (m) और (n) दोनों सम निकलते हैं/Rational assumption makes both (m) and (n) even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Both being even contradicts the coprime condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता। / Both being divisible by (3) breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
B. यह अधूरा है क्योंकि पहले (m) सम सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (m) must be proved even first
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से पहले \(m^2\) सम और फिर (m) सम मिलता है। (m=2r) रखने के बाद ही (n) सम सिद्ध होता है। / From \(m^2=2n^2\), first \(m^2\) and then (m) are even. Only after taking (m=2r), (n) is proved even.
A. यह अधूरा है क्योंकि पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (p) must be proved divisible by (3) first
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
A. दोनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न ली जाती है/In both, a lowest fraction is taken after assuming rationality
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि से शुरू होते हैं। परिमेय मानकर सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास मिलता है। / Both proofs start with contradiction method. A coprime fraction is assumed rational and leads to contradiction.
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता आती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) मुख्य है और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) मुख्य है। यही मूल अंतर है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is central and in the proof of \(\sqrt{3}\), (3) is central. This is the key difference.
A. दोनों का (2) से विभाज्य होना/Both being divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड मिल जाता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / A common factor (2) is found in both. Therefore they cannot remain coprime.
B. दोनों का (3) से विभाज्य होना/Both being divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड मिलता है। यह सहभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है। / A common factor (3) is found in both. This breaks the coprime condition.
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास मान्यता को गलत सिद्ध करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं बल्कि अपरिमेय है। / A contradiction proves the assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is not rational but irrational.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त टूटना परिमेय मान्यता से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Breaking the coprime condition is a contradiction to the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. क्योंकि हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती/Because a fraction is undefined when denominator is zero
Explanation
Simple Explanation
परिमेय रूप \(\frac{m}{n}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। यह मूल भिन्न नियम है। / In rational form \(\frac{m}{n}\), denominator cannot be zero. This is a basic fraction rule.
A. यह भिन्न \(\frac{p}{q}\) को परिभाषित रखता है/It keeps the fraction \(\frac{p}{q}\) defined
Explanation
Simple Explanation
यदि (q=0) हो तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं है। इसलिए परिमेय रूप में \(q\neq0\) जरूरी है। / If (q=0), \(\frac{p}{q}\) is undefined. Therefore \(q\neq0\) is necessary in rational form.
C. \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\) मानना/Assuming \(\sqrt{2}=\frac{m}{0}\)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं होती। इसलिए \(\frac{m}{0}\) गलत शुरुआत है। / A fraction is undefined if the denominator is zero. Therefore \(\frac{m}{0}\) is a wrong start.
C. \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{p}{0}\) परिभाषित नहीं होता। परिमेय रूप में हर शून्य नहीं हो सकता। / \(\frac{p}{0}\) is not defined. In rational form, the denominator cannot be zero.
C. \(p^2=3q^2\) और \(p^2\) (3) से विभाज्य है/\(p^2=3q^2\) and \(p^2\) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3). Therefore (p) is also divisible by (3).
B. महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा/Highest common factor will be at least (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर दोनों (2) से विभाज्य हैं। इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) नहीं हो सकता। / If both are even, both are divisible by (2). So the highest common factor cannot be (1).
A. \(m^2\) विषम होना चाहिए लेकिन समीकरण से सम मिलता है/\(m^2\) should be odd but the equation gives even
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(m^2=2n^2\) से \(m^2\) सम है, इसलिए (m) विषम नहीं हो सकता। / The square of an odd number is odd. But \(m^2=2n^2\) makes \(m^2\) even, so (m) cannot be odd.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए लेकिन समीकरण से विभाज्य है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन \(p^2=3q^2\) उसे (3) से विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible by (3).
B. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Therefore our rational assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत होती है। इसलिए अंतिम निष्कर्ष अपरिमेयता है। / When contradiction is found, the initial rational assumption is false. So the final conclusion is irrationality.
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। यह विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
A. विरोधाभास विधि क्योंकि परिमेय मान्यता से असंभव स्थिति मिलती है/Contradiction method because rational assumption gives an impossible situation
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में उल्टा मानकर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास निकाला जाता है। इसलिए विरोधाभास विधि सही है। / In both proofs, the opposite is assumed and contradiction with coprime condition is derived. Hence contradiction method is correct.
A. सरलतम रूप में सहभाज्य अंश-हर वाला/In lowest form with coprime numerator and denominator
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जा सकता है। यही मान्यता बाद में टूटती है। / A rational number can be written in lowest fractional form. This assumption is later contradicted.
A. (p) और (q) दोनों का (3) से विभाज्य होना/Both (p) and (q) being divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह संभव नहीं है। / In lowest form (p) and (q) are coprime. If both are divisible by (3), this is impossible.
(m=2r) रखने से \(n^2=2r^2\) मिलता है। इससे (n) भी सम होता है और दोनों सम का विरोधाभास बनता है। / Putting (m=2r) gives \(n^2=2r^2\). This makes (n) even too and creates the contradiction of both even.
A. वर्ग सम हो तो संख्या सम होती है/If the square is even, the number is even
Explanation
Simple Explanation
यह नियम \(m^2\) से (m) सम सिद्ध करने में काम आता है। इसे प्रमाण में स्पष्ट लिखें। / This rule is used to prove (m) even from \(m^2\). Write it clearly in the proof.
A. यदि (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है/If (3) divides the square, it also divides the number
Explanation
Simple Explanation
(3) अभाज्य है इसलिए यह नियम लागू होता है। इसी से (p) और बाद में (q) (3) से विभाज्य मिलते हैं। / Since (3) is prime, this rule applies. It shows (p) and later (q) divisible by (3).
A. दोनों को परिमेय मानने पर विरोधाभास मिलता है इसलिए दोनों अपरिमेय हैं/Assuming either rational gives contradiction, so both are irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / In both proofs, the rational assumption clashes with the coprime condition. Therefore both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
