If assuming (√2) rational gives a contradiction, which conclusion is correct?यदि (√2) को परिमेय मानने से विरोधाभास मिलता है तो कौन-सा निष्कर्ष सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (√2) is irrational(√2) अपरिमेय है
A proof by contradiction begins by assuming the opposite of the statement to be proved. Here the assumption is that √2 is rational. If valid reasoning from that assumption produces an impossibility, the assumption must be false. Therefore √2 is not rational; it is irrational, so option A is correct. The contradiction does not imply that √2 is zero, an integer, or a natural number. In fact, every integer and every natural number is rational, so options B and D conflict with the conclusion. Option C is also numerically false because the square of zero is 0, not 2. The logical structure is assumption, contradiction, rejection of assumption, and conclusion.विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले उस कथन के विपरीत मान्यता ली जाती है जिसे सिद्ध करना होता है। यहाँ मान्यता है कि √2 परिमेय है। यदि इस मान्यता से नियमपूर्वक तर्क करने पर असम्भव स्थिति, जैसे सरलतम भिन्न में अंश और हर दोनों का सम होना, प्राप्त हो जाए, तो मूल मान्यता गलत होनी चाहिए। इसलिए √2 परिमेय नहीं, बल्कि अपरिमेय है और विकल्प A सही है। इस विरोधाभास से यह निष्कर्ष नहीं निकलता कि √2 शून्य, पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या है। प्रत्येक पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या परिमेय होती है, इसलिए B और D भी गलत हैं। C भी गलत है, क्योंकि शून्य का वर्ग 0 होता है, 2 नहीं।
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