Which option shows the correct logical chain in the proof of (√3)?किस विकल्प में (√3) के प्रमाण की सही तार्किक श्रृंखला है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (p²=3q²), (p) divisible by (3), (p=3k), (q) divisible by (3)(p²=3q²), (p) 3 से विभाज्य, (p=3k), (q) 3 से विभाज्य
For the contradiction proof of √3, assume √3 = p/q in lowest terms, with q not equal to zero. Squaring gives p² = 3q². Therefore p² is divisible by the prime 3, and the prime-divisibility property implies that p is divisible by 3. Write p = 3k. Substituting and simplifying gives 3k² = q², so q², and hence q, is also divisible by 3. Both p and q then have a common factor 3, contradicting lowest terms. Option C states this correct chain. Option A uses the factor 2 and belongs to √2; the remaining options do not establish the contradiction.√3 के विरोधाभास प्रमाण में मान लेते हैं कि √3 = p/q है और p तथा q सहभाज्य हैं, जहाँ q शून्य नहीं है। वर्ग करने पर p² = 3q² प्राप्त होता है। इसलिए p², 3 से विभाज्य है। अभाज्य गुणनखंड के नियम के अनुसार p भी 3 से विभाज्य होगा; अतः p = 3k लिख सकते हैं। इसे समीकरण में रखने और सरल करने पर q² = 3k² मिलता है, इसलिए q भी 3 से विभाज्य है। इस प्रकार p और q दोनों में 3 सामान्य गुणनखंड आ जाता है, जो भिन्न के सरलतम रूप की धारणा का विरोधाभास है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A √2 के प्रमाण का रूप है, जबकि अन्य विकल्प तार्किक विरोधाभास स्थापित नहीं करते।
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