Which option shows the correct logical chain in the proof of (√2)?किस विकल्प में (√2) के प्रमाण की सही तार्किक श्रृंखला है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (m²=2n²), (m) even, (m=2r), (n) even(m²=2n²), (m) सम, (m=2r), (n) सम
To prove √2 irrational, assume √2 = m/n, where m and n are coprime integers and n is non-zero. Squaring gives m² = 2n². The right side is even, so m² is even; consequently m is even. Write m = 2r. Substitution gives 4r² = 2n², hence n² = 2r², so n is also even. Thus m and n share a factor 2, contradicting the assumption that the fraction was in lowest terms. Option A presents this essential chain. Option B belongs to the analogous √3 argument, while C and D omit or contradict the required reasoning.√2 की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए मान लेते हैं कि √2 = m/n है, जहाँ m और n सहभाज्य पूर्णांक हैं तथा n शून्य नहीं है। वर्ग करने पर m² = 2n² मिलता है। दाहिनी ओर 2 का गुणनखंड है, इसलिए m² सम है और इससे m भी सम होगा। अतः m = 2r लिख सकते हैं। रखने पर 4r² = 2n², अर्थात n² = 2r² प्राप्त होता है; इसलिए n भी सम है। इस प्रकार m और n दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड हो जाता है, जो m/n के सरलतम रूप में होने की धारणा का विरोधाभास है। इसलिए विकल्प A सही श्रृंखला है। विकल्प B √3 के प्रमाण से संबंधित है, जबकि C और D आवश्यक तर्क नहीं देते।
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