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दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(a^2\) सम है। प्रमाण में पहले वर्ग की समता पहचानें। / The right side has factor (2) so \(a^2\) is even. First identify evenness of the square in the proof.
यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) भी (3) से विभाज्य होगा। अभाज्य गुणनखंड का यह नियम याद रखें। / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3). Remember this prime factor rule.
A. क्योंकि वे सहभाज्य नहीं रह सकते/Because they cannot remain coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड होगा। यह सरलतम रूप की सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime condition of lowest form.
C. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / In contradiction method we first assume rationality. Then squaring gives the contradiction that both are even.
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। यही आगे विभाज्यता का आधार है। / Squaring \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\). This is the basis for divisibility.
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2\) सम होने से (a) सम निकाला जाता है। यही मुख्य तर्क है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) is concluded even from \(a^2\) being even. This is the main argument.
B. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना निकाला जाता है। यही आगे विरोधाभास देता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (p) by (3) is derived from \(p^2\). This leads to contradiction.
C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिख सके/So that contradiction with coprime condition can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों सम निकलना इसी से विरोधाभास बनाता है। / In lowest form (a) and (b) are coprime. Later both becoming even creates the contradiction.
A. (a) और (b) दोनों सम हैं जबकि वे सहभाज्य माने गए थे/Both (a) and (b) are even although they were assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिलता है। यह सहभाज्य मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / Both even gives common factor (2). This directly contradicts the coprime assumption.
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं जबकि वे सहभाज्य माने गए थे/Both (p) and (q) are divisible by (3) although they were assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) देता है। यह सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Both being divisible by (3) gives common factor (3). This breaks the coprime condition.
A. क्योंकि \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है/Because \(q^2=3k^2\) makes \(q^2\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=3k^2\) मिलने पर \(q^2\) (3) से विभाज्य है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / After getting \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3). Therefore (q) is also divisible by (3).
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता उपयोग होती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) मुख्य गुणनखंड है और \(\sqrt{3}\) में (3) मुख्य गुणनखंड है। अंतर को गुणनखंड से पहचानें। / In \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor, and in \(\sqrt{3}\), (3) is the key factor. Identify the difference by the factor.
A. सरलतम रूप में उन्हें सहभाज्य मानना चाहिए/They should be assumed coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में भिन्न सरलतम रूप में होती है इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं। दोनों सम होना अंत का विरोधाभास है। / At the start the fraction is in lowest form so (a) and (b) are assumed coprime. Both even is the final contradiction.
B. शुरुआत में (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं/At the start (p) and (q) are assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होता है। दोनों का (3) से विभाज्य होना बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। / At the start \(\frac{p}{q}\) is in lowest form. Both divisible by (3) is derived later as a contradiction.
A. यदि \(a^2\) सम है तो (a) सम है/If \(a^2\) is even then (a) is even
Explanation
Simple Explanation
यह तथ्य \(a^2=2b^2\) के बाद उपयोग होता है। इससे (a) को (2r) रूप में लिखा जाता है। / This fact is used after \(a^2=2b^2\). Then (a) is written in the form (2r).
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने से परिमेय मान्यता में विरोधाभास आता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Both being even contradicts the rational assumption. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / A common factor (3) contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) से समता की कड़ी बनती है। यह कड़ी (b) को भी सम दिखाती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This chain shows (b) is also even.
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की कड़ी चलती है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य निकलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows (q) is also divisible by (3).
A. (a) और (b) सहभाज्य और \(b\neq0\)/(a) and (b) coprime and \(b\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या सरलतम रूप में सहभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर शून्य नहीं हो सकता। / A rational number is written in lowest form as a ratio of coprime integers. The denominator cannot be zero.
B. (p) और (q) सहभाज्य और \(q\neq0\)/(p) and (q) coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से बाद में विरोधाभास मिलता है। / In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. This condition later gives the contradiction.
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Explanation
Simple Explanation
यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता। इसलिए \(a^2\) सम होने पर (a) सम होगा। / If (a) were odd then \(a^2\) would also be odd. Therefore if \(a^2\) is even, (a) is even.
A. क्योंकि (3) अभाज्य गुणनखंड है/Because (3) is a prime factor
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड किसी वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the original number. Therefore (p) is divisible by (3).
B. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\) मिलता है/Taking (p=3k) gives \(q^2=3k^2\)
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3). Therefore (q) is also divisible by (3).
A. क्योंकि प्रमाण समता और सहभाज्य विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on evenness and coprime contradiction
Explanation
Simple Explanation
इस प्रमाण में दशमलव की जरूरत नहीं होती। समता और सरलतम भिन्न की शर्त पर्याप्त है। / This proof does not need decimals. Evenness and the lowest fraction condition are enough.
A. क्योंकि दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं देता/Because decimal approximation does not give a proof
Explanation
Simple Explanation
दशमलव केवल अनुमान दे सकता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास चाहिए। / A decimal can only approximate. For proof, divisibility by (3) and contradiction are needed.
A. यह असंभव है क्योंकि (2) सामान्य गुणनखंड है/This is impossible because (2) is a common factor
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होने चाहिए। दोनों सम मिलना विरोधाभास है। / In lowest form, numerator and denominator should be coprime. Both even is a contradiction.
B. यह सरलतम रूप से विरोधाभास है/This contradicts lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होगा। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / Both will have common factor (3). So the fraction cannot be in lowest form.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय होने की मान्यता को गलत करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय निष्कर्ष है। / The contradiction makes the rationality assumption false. Therefore the conclusion is that \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। इससे मान्यता अस्वीकार होती है। / The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). Thus the assumption is rejected.
A. अपरिमेय क्योंकि परिमेय मान्यता से दोनों सम मिलते हैं/Irrational because rational assumption makes both even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Both becoming even contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. अपरिमेय क्योंकि परिमेय मान्यता से दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Irrational because rational assumption makes both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Both being divisible by (3) contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. दोनों का सामान्य गुणनखंड (2) होना/Both having common factor (2)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। इसलिए (2) सामान्य होना असंभव है। / Coprime numbers have only (1) as common factor. Therefore common factor (2) is impossible.
B. दोनों का सामान्य गुणनखंड (3) होना/Both having common factor (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। इसलिए (3) सामान्य नहीं हो सकता। / Coprime numbers have no common factor except (1). Therefore (3) cannot be common.
B. क्योंकि (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because (p) is proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होता है। इसलिए (p=3k) लिखा जाता है। / When \(p^2\) is divisible by (3), (p) is also divisible by (3). Therefore (p=3k) is written.
A. \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहभाज्य हैं और \(b\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime and \(b\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में सरलतम रूप में लिखा जाता है। हर शून्य नहीं होता। / A rational number is written as a ratio of two integers in lowest form. The denominator is not zero.
B. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहभाज्य हैं और \(q\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}\) को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। / When assumed rational, \(\sqrt{3}\) is written in lowest fractional form. Therefore (p) and (q) are coprime.
D. (a) और (b) दोनों सम हों तब भी वे सहभाज्य हैं/Even if both (a) and (b) are even, they are coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड होता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं हो सकते। / If both are even, (2) is a common factor. Therefore they cannot be coprime.
C. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों तब भी वे सहभाज्य हैं/Even if both (p) and (q) are divisible by (3), they are coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं हो सकते। / If both are divisible by (3), common factor (3) exists. Therefore they cannot be coprime.
दोनों को परिमेय मानने पर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either rational gives a contradiction with the coprime condition. Therefore both are irrational.
\(b^2\) सम है इसलिए (b) भी सम होगा। यह (a) और (b) दोनों के सम होने का विरोधाभास बनाता है। / \(b^2\) is even so (b) is also even. This creates the contradiction that both (a) and (b) are even.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यही सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास देता है। / \(q^2\) is divisible by (3) so (q) is also divisible by (3). This contradicts the coprime assumption.
C. (a) और (b) दोनों सम होकर भी सहभाज्य हैं/(a) and (b) are coprime even though both are even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं हो सकते। / If both are even then (2) is a common factor. Therefore they cannot be coprime.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं इसलिए वे सहभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (3), so they cannot be coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होना सरलतम भिन्न की शर्त को तोड़ता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता। / Having common factor (3) breaks the condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
