In the proof of √2, why is it a contradiction when both a and b are even?√2 के प्रमाण में a और b दोनों सम निकलने पर विरोधाभास क्यों होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because they cannot remain coprimeक्योंकि वे सहभाज्य नहीं रह सकते
At the beginning of the proof, √2 is assumed to be a/b in lowest terms. This means that a and b have no common factor other than 1; in other words, they are coprime. The algebraic steps eventually show that a is even and b is also even. Thus 2 divides both numbers, so 2 is a common factor. That directly contradicts the original lowest-terms assumption. It does not mean that a and b become equal, zero, or negative. The contradiction invalidates the assumption that √2 can be represented as a rational fraction, leading to the conclusion that √2 is irrational. Therefore option A gives both the reason and the required logical link.प्रमाण की शुरुआत में √2 को a/b के रूप में सरलतम रूप में माना जाता है। इसका अर्थ है कि a और b का 1 के अतिरिक्त कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है; अर्थात वे सहभाज्य हैं। आगे के बीजीय चरणों से a सम और b भी सम प्राप्त होते हैं। इसलिए 2 दोनों संख्याओं को विभाजित करता है और 2 उनका सामान्य गुणनखंड बन जाता है। यह सरलतम रूप में सहभाज्यता की प्रारम्भिक शर्त का सीधा विरोधाभास है। इसका यह अर्थ नहीं है कि a और b बराबर, शून्य या ऋणात्मक हो जाते हैं। यही विरोधाभास √2 के परिमेय होने की मान्यता को अस्वीकार करता है और √2 को अपरिमेय सिद्ध करता है। अतः विकल्प A सही है।
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