Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(a^2\) सम है। प्रमाण में पहले वर्ग की समता पहचानें। / The right side has factor (2) so \(a^2\) is even. First identify evenness of the square in the proof.
यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) भी (3) से विभाज्य होगा। अभाज्य गुणनखंड का यह नियम याद रखें। / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3). Remember this prime factor rule.
A. किसी संख्या का निकटतम दशमलव मान परिमेय होने से मूल संख्या परिमेय सिद्ध नहीं होती।
Explanation
Simple Explanation
\(1.7^2=2.89\) केवल \(\sqrt{3}\) का एक सन्निकट मान दिखाता है, बराबरी नहीं। परिमेयता सिद्ध करने के लिए \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) का प्रमाण चाहिए; निकटता पर्याप्त नहीं। परीक्षा टिप: “निकट” और “बराबर” में अंतर जाँचें। / \(1.7^2=2.89\) gives only an approximation to \(\sqrt{3}\), not equality. To prove rationality, one must establish \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\); closeness is insufficient. Exam tip: always distinguish “approximately equal” from “equal.”
A. कथन गलत है; यदि \(2\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसे 2 से भाग देने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होता।/The statement is wrong; if \(2\sqrt{3}\) were rational, dividing it by 2 would make \(\sqrt{3}\) rational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। यदि \(2\sqrt{3}\) परिमेय मान लें, तो \((2\sqrt{3})/2=\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है। इसलिए A सही है। परीक्षा टिप: शून्येतर परिमेय से भाग देकर विरोधाभास जाँचें। / Since \(\sqrt{3}\) is irrational, assume \(2\sqrt{3}\) is rational. Dividing by the non-zero rational number 2 gives \((2\sqrt{3})/2=\sqrt{3}\), a contradiction. Hence A is correct. Exam tip: divide by a non-zero rational factor to test such claims.
A. क्योंकि वे सहभाज्य नहीं रह सकते/Because they cannot remain coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड होगा। यह सरलतम रूप की सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime condition of lowest form.
D. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं/Both \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों को सरल रूप \(p/q\) में मानने पर विरोधाभास मिलता है। जैसे \(p^2=2q^2\) से \(p\) और फिर \(q\) सम निकलते हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने वाली अभाज्य संख्या का वर्गमूल अपरिमेय होता है। / Assuming either \(\sqrt{2}\) or \(\sqrt{3}\) equals \(p/q\) in lowest terms leads to a contradiction. For example, \(p^2=2q^2\) makes both \(p\) and \(q\) even. Exam tip: the square root of a non-square prime is irrational.
C. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / In contradiction method we first assume rationality. Then squaring gives the contradiction that both are even.
मान लें कि \\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\\), जहाँ p और q सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \\(\sqrt{3}\\) की अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास किस तथ्य से प्राप्त होता है?
A. p और q दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं/Both p and q are proved to be divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\\(p^2=3q^2\\) से 3, p² को विभाजित करता है; 3 अभाज्य होने से 3, p को भी विभाजित करेगा। फिर q भी 3 से विभाज्य निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा p और q के समान गुणनखंड से बनता है। / From \\(p^2=3q^2\\), 3 divides p²; since 3 is prime, it divides p. Substitution then shows that 3 also divides q, contradicting coprimality. Exam tip: identify the common factor of p and q that creates the contradiction.
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2\) सम होने से (a) सम निकाला जाता है। यही मुख्य तर्क है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) is concluded even from \(a^2\) being even. This is the main argument.
B. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना निकाला जाता है। यही आगे विरोधाभास देता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (p) by (3) is derived from \(p^2\). This leads to contradiction.
C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिख सके/So that contradiction with coprime condition can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों सम निकलना इसी से विरोधाभास बनाता है। / In lowest form (a) and (b) are coprime. Later both becoming even creates the contradiction.
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता।
Explanation
Simple Explanation
3 परिमेय है, पर उसका वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं। मान लें \(\sqrt{3}=p/q\); तब \(p^2=3q^2\) से \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य होंगे। टिप: वर्गमूल को अलग जाँचें। / Although 3 is rational, its square root need not be rational. If \(\sqrt{3}=p/q\), then \(p^2=3q^2\) makes both \(p\) and \(q\) divisible by 3. Tip: test the square root separately.
B. यदि \(4+\sqrt{3}\) परिमेय होता, तो उसमें से 4 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाता, जो असंभव है।/If \(4+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 4 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(4+\sqrt{3}\) परिमेय है। 4 परिमेय होने से उसे घटाने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय होना चाहिए, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। अतः योग अपरिमेय है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / Assume \(4+\sqrt{3}\) is rational. Since 4 is rational, subtracting it would make \(\sqrt{3}\) rational, contradicting its irrationality. Hence the sum is irrational. Exam tip: adding or subtracting a rational number does not change irrationality.
C. क्योंकि \(b^2=2r^2\) से \(b^2\) सम है/Because \(b^2=2r^2\) shows that \(b^2\) is even
Explanation
Simple Explanation
\(a=2r\) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। इसे \(a^2=2b^2\) में रखने से \(4r^2=2b^2\), अर्थात \(b^2=2r^2\) मिलता है। इसलिए \(b^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; अतः \(b\) सम है। केवल \(b\) का ऋणात्मक होना सम होने का कारण नहीं है। परीक्षा टिप: विषमता सिद्ध करने में यह निष्कर्ष विरोधाभास बनाने के लिए उपयोग होता है। / Substituting \(a=2r\) gives \(a^2=4r^2\). Using this in \(a^2=2b^2\), we get \(4r^2=2b^2\), or \(b^2=2r^2\). Thus, \(b^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer itself must be even; hence \(b\) is even. Being negative is not a reason for \(b\) to be even. Exam tip: this result is used to obtain a contradiction in irrationality proofs.
A. क्योंकि प्रतिस्थापन करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, अतः \(q^2\) 3 से विभाज्य है/Because substitution gives \(q^2=3k^2\), so \(q^2\) is divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
दिया है \(p=3k\)। इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \((3k)^2=3q^2\), अर्थात \(9k^2=3q^2\) मिलता है। 3 से भाग देने पर \(q^2=3k^2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(q^2\) 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि किसी संख्या का वर्ग 3 से विभाज्य हो, तो वह संख्या स्वयं भी 3 से विभाज्य होती है। अतः \(q\) 3 से विभाज्य है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या \(r\) के लिए \(r\mid n^2\) होने पर \(r\mid n\) होता है। / Given \(p=3k\), substitute it into \(p^2=3q^2\): \((3k)^2=3q^2\), so \(9k^2=3q^2\). Dividing by 3 gives \(q^2=3k^2\); hence \(q^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, if the square of an integer is divisible by 3, then the integer itself is divisible by 3. Therefore, \(q\) is divisible by 3. Exam tip: for a prime \(r\), \(r\mid n^2\) implies \(r\mid n\).
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता उपयोग होती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) मुख्य गुणनखंड है और \(\sqrt{3}\) में (3) मुख्य गुणनखंड है। अंतर को गुणनखंड से पहचानें। / In \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor, and in \(\sqrt{3}\), (3) is the key factor. Identify the difference by the factor.
A. सरलतम रूप में उन्हें सहभाज्य मानना चाहिए/They should be assumed coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में भिन्न सरलतम रूप में होती है इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं। दोनों सम होना अंत का विरोधाभास है। / At the start the fraction is in lowest form so (a) and (b) are assumed coprime. Both even is the final contradiction.
B. शुरुआत में (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं/At the start (p) and (q) are assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होता है। दोनों का (3) से विभाज्य होना बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। / At the start \(\frac{p}{q}\) is in lowest form. Both divisible by (3) is derived later as a contradiction.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय हैं, क्योंकि 2 और 3 पूर्ण वर्ग नहीं हैं। जबकि \(\sqrt{4}=2\) तथा \(\sqrt{9}=3\) परिमेय हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are irrational because 2 and 3 are not perfect squares. But \(\sqrt{4}=2\) and \(\sqrt{9}=3\) are rational. Exam tip: the square root of a perfect-square integer is an integer.
रिया ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) प्राप्त होता है। इस मान्यता में विरोधाभास सिद्ध करने के लिए कौन-सा तर्क सही है?
A. Since \(3\mid p^2\), \(3\mid p\); putting \(p=3k\) shows that \(3\mid q\) as well.
Explanation
Simple Explanation
\(3\mid p^2\) होने पर 3 अभाज्य होने से \(3\mid p\)। मानें \(p=3k\); तब \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(3\mid q\)। दोनों में 3 साझा होने से सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम लिखें। / As \(3\mid p^2\) and 3 is prime, \(3\mid p\). Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(3\mid q\). Thus both share 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the prime-divisor rule clearly.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / A common factor (3) contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
B. कथन गलत है; यदि \(5+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से 5 घटाने पर \(\sqrt{2}\) भी परिमेय होता।/The statement is incorrect; if \(5+\sqrt{2}\) were rational, subtracting 5 would make \(\sqrt{2}\) rational too.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। मान लें \(5+\sqrt{2}\) परिमेय है; तब उसमें से परिमेय 5 घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय निकलता, जो विरोधाभास है। अतः योग अपरिमेय है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए परिमेय पद को अलग करें। / \(\sqrt{2}\) is irrational. If \(5+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number 5 would make \(\sqrt{2}\) rational, a contradiction. Hence the sum is irrational. Exam tip: isolate the irrational term by adding or subtracting a rational number.
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की कड़ी चलती है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य निकलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows (q) is also divisible by (3).
A. (a) और (b) सहभाज्य और \(b\neq0\)/(a) and (b) coprime and \(b\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या सरलतम रूप में सहभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर शून्य नहीं हो सकता। / A rational number is written in lowest form as a ratio of coprime integers. The denominator cannot be zero.
B. (p) और (q) सहभाज्य और \(q\neq0\)/(p) and (q) coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से बाद में विरोधाभास मिलता है। / In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. This condition later gives the contradiction.
A. \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं/\(p\) and \(q\) are coprime
Explanation
Simple Explanation
भिन्न को न्यूनतम रूप में लेने पर \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होते हैं। \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को तथा फिर \(q\) को विभाजित करता है, जो विरोधाभास है। परीक्षा में ‘न्यूनतम रूप’ अवश्य लिखें। / Writing the fraction in lowest terms makes \(p\) and \(q\) coprime. From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\), and then \(q\), creating a contradiction. Exam tip: state “lowest terms” explicitly.
A. क्योंकि (3) अभाज्य गुणनखंड है/Because (3) is a prime factor
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड किसी वर्ग में तभी आता है जब मूल संख्या में आता है। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the original number. Therefore (p) is divisible by (3).
B. परिमेय संख्या का वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं है; \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/The square root of a rational number need not be rational; \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता। यदि \(\sqrt{3}=p/q\) न्यूनतम रूप में हो, तो \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) और फिर \(q\) को विभाजित करेगा, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल अक्सर अपरिमेय होता है। / The square root of a rational number is not always rational. If \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest form, then \(p^2=3q^2\), so 3 divides \(p\) and then \(q\), a contradiction. Exam tip: the square root of a non-perfect-square integer is irrational.
यदि \(\frac{3+\sqrt{2}}{5}\) परिमेय हो, तो उसे 5 से गुणा करके 3 घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय मिलती, जो असंभव है। B, C और D क्रमशः 2, 1 और 0 हैं। परीक्षा टिप: परिमेय संख्याओं के जोड़-घटाव से अपरिमेयता जाँचें। / If \(\frac{3+\sqrt{2}}{5}\) were rational, multiplying by 5 and subtracting 3 would make \(\sqrt{2}\) rational, a contradiction. B, C and D equal 2, 1 and 0. Exam tip: use closure of rational numbers to test such expressions.
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, इसलिए वे सह-अभाज्य नहीं हैं/\(p\) and \(q\) are both divisible by 3, so they are not coprime
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\), और फिर \(q\), 3 से विभाज्य मिलता है। यह सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है। परीक्षा में यह शर्त अवश्य लिखें। / Assume \(\sqrt{3}=p/q\) in lowest terms. From \(p^2=3q^2\), \(p\) is divisible by 3, and then \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: state “lowest terms” first.
मान लीजिए कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास पूरा करता है?
A. \(q\) भी 3 से विभाज्य है/\(q\) is also divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य नहीं रहेंगे, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.
A. यदि अभाज्य संख्या \(r\), \(n^2\) को विभाजित करती है, तो \(r\), \(n\) को भी विभाजित करती है।/If a prime \(r\) divides \(n^2\), then \(r\) also divides \(n\).
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid a^2\) से \(3\mid a\) होगा। \(a=3k\) रखने पर \(b^2=3k^2\), अतः \(3\mid b\) भी। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य-भाजक नियम अवश्य लिखें। / Since 3 is prime, \(3\mid a^2\) gives \(3\mid a\). Set \(a=3k\); then \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\), contradicting lowest terms. Exam tip: state the prime-divisor rule clearly.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) है, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। इस दावे से प्राप्त सही निष्कर्ष कौन-सा है?
\(\sqrt{3}=a/b\) मानने पर \(a^2=3b^2\) मिलता है। अतः \(a^2\), और इसलिए \(a\), 3 से विभाज्य है; लिखने पर \(a=3k\), \(b\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग के 3 से विभाज्य होने पर संख्या भी 3 से विभाज्य होती है। / Assuming \(\sqrt{3}=a/b\) gives \(a^2=3b^2\). Thus \(a^2\), hence \(a\), is divisible by 3; putting \(a=3k\) shows that \(b\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: if a square is divisible by 3, its root number is divisible by 3.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय होने की मान्यता को गलत करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय निष्कर्ष है। / The contradiction makes the rationality assumption false. Therefore the conclusion is that \(\sqrt{2}\) is irrational.
B. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। इससे मान्यता अस्वीकार होती है। / The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3). Thus the assumption is rejected.
एक विद्यार्थी ने लिखा: यदि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य हैं, तो \(a^2=3b^2\)। उसने निष्कर्ष निकाला कि 3, \(b\) को विभाजित करता है। इस निष्कर्ष में त्रुटि क्या है?
A. समीकरण से पहले 3, \(a\) को विभाजित करता है, \(b\) को नहीं/The equation first shows that 3 divides \(a\), not \(b\)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) से 3, \(a^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य होने से 3, \(a\) को विभाजित करेगा। फिर \(a=3k\) रखने पर 3, \(b\) को भी विभाजित करता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: पहले अंश पर निष्कर्ष लिखें। / From \(a^2=3b^2\), 3 divides \(a^2\), so since 3 is prime, it divides \(a\) first. Put \(a=3k\); then 3 also divides \(b\), contradicting coprimality. Exam tip: track the numerator first.
B. अपरिमेय क्योंकि परिमेय मान्यता से दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं/Irrational because rational assumption makes both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Both being divisible by (3) contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
A. दोनों का एक सामान्य गुणनखंड 2 होना/Both having 2 as a common factor
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) केवल 1 होता है। यदि a और b दोनों 2 से विभाज्य हों, तो 2 उनका सामान्य गुणनखंड होगा; इसलिए वे सहभाज्य नहीं रहेंगे। इसके विपरीत, एक संख्या सम और दूसरी विषम हो सकती है, जैसे 2 और 3, जो सहभाज्य हैं। परीक्षा टिप: सहभाज्य का अर्थ है कि दोनों संख्याओं का कोई भी सामान्य गुणनखंड 1 के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have 1 as their only common factor, so their HCF is 1. If both a and b are divisible by 2, then 2 is a common factor and they cannot be coprime. In contrast, one number may be even and the other odd, such as 2 and 3, which are coprime. Exam tip: For coprime numbers, check that no common factor other than 1 divides both numbers.
A. ताकि \(p\) और \(q\) में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो और दोनों के सम होने पर विरोधाभास मिले/So that \(p\) and \(q\) have no common factor, and both being even gives a contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(2q^2=p^2\) से \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम मिलता है, जो निम्नतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: यही विरोधाभास प्रमाण का निर्णायक चरण है। / From \(2q^2=p^2\), \(p\) is even. Putting \(p=2k\) then shows \(q\) is also even, contradicting lowest terms. Exam tip: this contradiction is the key proof step.
यदि
\(\sqrt{3}\) को \(p/q\) के रूप में, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, मानने पर \(p^2=3q^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि 3 अभाज्य है, \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) मिलता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(3\mid q\) भी। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य विभाज्यता नियम लगाएँ। / Since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\) too. This contradicts coprime terms. Exam tip: apply prime divisibility carefully.
एक विद्यार्थी दावा करता है कि यदि किसी पूर्णांक का वर्ग 2 से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी 2 से विभाज्य होगा।
यह कथन
केवल
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कैसे उपयोगी है?
A. It shows that both numerator and denominator in a supposed lowest-form fraction for \(\sqrt{2}\) are even.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। तब \(p^2=2q^2\), इसलिए \(p^2\) सम है और \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास के लिए भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) with coprime integers \(p,q\). Then \(p^2=2q^2\), so \(p^2\), and hence \(p\), is even. Putting \(p=2k\) makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: always begin the contradiction proof with the fraction in lowest terms.
A. \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहभाज्य हैं और \(b\neq0\)/\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime and \(b\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में सरलतम रूप में लिखा जाता है। हर शून्य नहीं होता। / A rational number is written as a ratio of two integers in lowest form. The denominator is not zero.
B. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहभाज्य हैं और \(q\neq0\)/\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}\) को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। / When assumed rational, \(\sqrt{3}\) is written in lowest fractional form. Therefore (p) and (q) are coprime.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद सही निष्कर्ष कौन-सा है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य होंगे, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, contradicting their coprimality.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। परीक्षा में दोनों चरण अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid p\). Put \(p=3k\) to obtain \(3\mid q\) too. This contradicts lowest terms. In exams, show both divisibility steps.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=2q^2\) प्राप्त होने पर, निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता में विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), अतः \(q\) भी सम है। दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड होना सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से संख्या सम सिद्ध होती है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. Thus both share factor 2, contradicting coprimality. Exam tip: an even square implies the number itself is even.
दोनों को परिमेय मानने पर सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either rational gives a contradiction with the coprime condition. Therefore both are irrational.
\(b^2\) सम है इसलिए (b) भी सम होगा। यह (a) और (b) दोनों के सम होने का विरोधाभास बनाता है। / \(b^2\) is even so (b) is also even. This creates the contradiction that both (a) and (b) are even.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यही सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास देता है। / \(q^2\) is divisible by (3) so (q) is also divisible by (3). This contradicts the coprime assumption.
A. मान लें कि \(1+\sqrt{3}\) परिमेय है। उसमें से 1 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय होगा, जो विरोधाभास है।/Assume \(1+\sqrt{3}\) is rational. Subtracting 1 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(1+\sqrt{3}\) परिमेय मानें, तो 1 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय निकलता है, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। विकल्प D गलत है; हर योग अपरिमेय नहीं होता। परीक्षा टिप: विरोधाभास में परिमेय पद को अलग करें। / If \(1+\sqrt{3}\) were rational, subtracting 1 would make \(\sqrt{3}\) rational, contradicting its irrationality. Option D is false since sums are not always irrational. Exam tip: isolate the square root in contradiction proofs.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं इसलिए वे सहभाज्य नहीं हो सकते/Both (p) and (q) are divisible by (3), so they cannot be coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) होना सरलतम भिन्न की शर्त को तोड़ता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता। / Having common factor (3) breaks the condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
