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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2r) है तो (b) सम क्यों होगा?

If \(a^2=2b^2\) and (a=2r), why will (b) be even?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. क्योंकि \(b^2=2r^2\) से \(b^2\) सम हैBecause \(b^2=2r^2\) shows that \(b^2\) is even

Explanation

Simple Explanation

\(a=2r\) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। इसे \(a^2=2b^2\) में रखने से \(4r^2=2b^2\), अर्थात \(b^2=2r^2\) मिलता है। इसलिए \(b^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; अतः \(b\) सम है। केवल \(b\) का ऋणात्मक होना सम होने का कारण नहीं है। परीक्षा टिप: विषमता सिद्ध करने में यह निष्कर्ष विरोधाभास बनाने के लिए उपयोग होता है। / Substituting \(a=2r\) gives \(a^2=4r^2\). Using this in \(a^2=2b^2\), we get \(4r^2=2b^2\), or \(b^2=2r^2\). Thus, \(b^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer itself must be even; hence \(b\) is even. Being negative is not a reason for \(b\) to be even. Exam tip: this result is used to obtain a contradiction in irrationality proofs.

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यदि \(a^2=2b^2\) और (a=2r) है तो (b) सम क्यों होगा? / If \(a^2=2b^2\) and (a=2r), why will (b) be even?

Correct Answer: C. क्योंकि \(b^2=2r^2\) से \(b^2\) सम है / Because \(b^2=2r^2\) shows that \(b^2\) is even. Explanation: \(a=2r\) रखने पर \(a^2=4r^2\) होगा। इसे \(a^2=2b^2\) में रखने से \(4r^2=2b^2\), अर्थात \(b^2=2r^2\) मिलता है। इसलिए \(b^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है; अतः \(b\) सम है। केवल \(b\) का ऋणात्मक होना सम होने का कारण नहीं है। परीक्षा टिप: विषमता सिद्ध करने में यह निष्कर्ष विरोधाभास बनाने के लिए उपयोग होता है। / Substituting \(a=2r\) gives \(a^2=4r^2\). Using this in \(a^2=2b^2\), we get \(4r^2=2b^2\), or \(b^2=2r^2\). Thus, \(b^2\) is even. If the square of an integer is even, the integer itself must be even; hence \(b\) is even. Being negative is not a reason for \(b\) to be even. Exam tip: this result is used to obtain a contradiction in irrationality proofs.