A. \(\gcd(m,n)=1\) और \(\gcd(m,n)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते/\(\gcd(m,n)=1\) and \(\gcd(m,n)\ge 2\) cannot both be true
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(m,n)=1\) होता है। लेकिन यदि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ भाजक है, इसलिए \(\gcd(m,n)\ge 2\) होगा। एक ही समय में महत्तम समापवर्तक 1 और कम-से-कम 2 नहीं हो सकता; यही विरोधाभास है और इससे प्रारम्भिक मान्यता गलत सिद्ध होती है। परीक्षा-युक्ति: सहभाज्यता और दोनों संख्याओं के सम होने को देखकर तुरंत 2 को उभयनिष्ठ भाजक जाँचें। / For coprime numbers, \(\gcd(m,n)=1\). However, if both \(m\) and \(n\) are even, then 2 is a common divisor, so \(\gcd(m,n)\ge 2\). The greatest common divisor cannot be 1 and at least 2 at the same time; this is the contradiction that disproves the initial assumption. Exam tip: whenever both numbers are even, immediately identify 2 as their common divisor.
A. दोनों का एक सामान्य गुणनखंड 2 होना/Both having 2 as a common factor
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) केवल 1 होता है। यदि a और b दोनों 2 से विभाज्य हों, तो 2 उनका सामान्य गुणनखंड होगा; इसलिए वे सहभाज्य नहीं रहेंगे। इसके विपरीत, एक संख्या सम और दूसरी विषम हो सकती है, जैसे 2 और 3, जो सहभाज्य हैं। परीक्षा टिप: सहभाज्य का अर्थ है कि दोनों संख्याओं का कोई भी सामान्य गुणनखंड 1 के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have 1 as their only common factor, so their HCF is 1. If both a and b are divisible by 2, then 2 is a common factor and they cannot be coprime. In contrast, one number may be even and the other odd, such as 2 and 3, which are coprime. Exam tip: For coprime numbers, check that no common factor other than 1 divides both numbers.
