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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

मान लीजिए कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास पूरा करता है?

Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. After concluding from \(p^2=3q^2\) that \(p\) is divisible by 3, which conclusion completes the contradiction proving \(\sqrt{3}\) is irrational?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(q\) भी 3 से विभाज्य है\(q\) is also divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य नहीं रहेंगे, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.

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मान लीजिए कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) है, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) से \(p\) के 3 से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का विरोधाभास पूरा करता है? / Suppose \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime positive integers. After concluding from \(p^2=3q^2\) that \(p\) is divisible by 3, which conclusion completes the contradiction proving \(\sqrt{3}\) is irrational?

Correct Answer: A. \(q\) भी 3 से विभाज्य है / \(q\) is also divisible by 3. Explanation: यदि \(p=3k\), तो \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) मिलता है। इसलिए \(q\) भी 3 से विभाज्य है। तब \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य नहीं रहेंगे, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या यदि वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है। / Let \(p=3k\). Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\). Hence \(q\) is also divisible by 3, contradicting that \(p\) and \(q\) are coprime. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number itself.