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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Medium Level 16

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद सही निष्कर्ष कौन-सा है?

A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After obtaining \(p^2=3q^2\), which conclusion is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य होंगे, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, contradicting their coprimality.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। परीक्षा में दोनों चरण अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid p\). Put \(p=3k\) to obtain \(3\mid q\) too. This contradicts lowest terms. In exams, show both divisibility steps.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद सही निष्कर्ष कौन-सा है? / A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After obtaining \(p^2=3q^2\), which conclusion is correct?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य होंगे, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, contradicting their coprimality.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से 3, \(p^2\) को विभाजित करता है; 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी मिलता है। यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। परीक्षा में दोनों चरण अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p^2\), so prime-factor reasoning gives \(3\mid p\). Put \(p=3k\) to obtain \(3\mid q\) too. This contradicts lowest terms. In exams, show both divisibility steps.